探究点二 分段函数的定积分
??π例2 已知函数f(x)＝?1，≤x≤2，2??x－1，2≤x≤4.
πsin x，0≤x≤，2
先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
2??x， x≤0，
跟踪训练2 （1）设f(x)＝?求?1－1f(x)dx；
?cos x－1， x>0，?
a2（2）求?－axdx(a>0)．
探究点三 定积分的应用
π2π
例3 计算下列定积分：?0sin xdx，?2ππsin xdx，?0sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
π5
跟踪训练3 求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
24
【当堂检测】
1． (1＋cos x)dx等于 πA．π 2π B．2 2．若
?21a
?1(2x＋)dx＝3＋ln 2，则
? ( ) C．π－2 D．π＋2
( )
D．2
x
a的值是
A．5 B．4 C．3
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3．?20(x－x)dx＝_______ 3
?4．已知f(x)＝?π
cos x， 【课堂小结】 π4x－2π，0≤x≤， 2 ，计算?π0f(x)dx. 1．求定积分的一些常用技巧 （1）对被积函数，要先化简，再求积分． （2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分． 2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数. 26 §1.7 【学习要求】 定积分的简单应用导学案 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【学法指导】 本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注 意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题. 【知识要点】 1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________. 2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝_________. 3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围 成的平面图形的面积S＝______________. (如图) 【问题探究】 探究点一 求不分割型图形的面积 问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 例1 计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S. 跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积． 探究点二 分割型图形面积的求解 问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？ 例3 计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S. 1 跟踪训练2 求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积． 3 27 探究点三 定积分的综合应用 1 例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以 12及在切点A的切线方程． 跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值． 【当堂检测】 1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( ) 2x－2x＋8)dx ① ② S＝?ab[f(x)－g(x)]dx S＝?80(2 7abS＝?41f(x)dx－?4f(x)dx S＝?0 [g?x?－f?x?]dx＋?a [f?x?－g?x?]dx ③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 3 2．曲线y＝cos x(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是 ( ) 25 A．2 B．3 C． D．4 2 3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为_______ 4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________ 【课堂小结】 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时 （1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． （2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差． 这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的. 28 章末复习课导学案 【知识结构】 【问题探究】 题型一 分类讨论思想在导数中的应用 例1 已知函数f(x)＝(x－k)2e . 1 （1）求f(x)的单调区间； （2）若对?x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围． e 11 跟踪训练1 求函数y＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调减区间． 32 题型二 转化与化归思想的应用 ex 例2 设f(x)＝，其中a为正实数． 1＋ax24 （1）当a＝时，求f(x)的极值点； （2）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． 3 跟踪训练2 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求a的取值范围． 29 题型三 函数与方程思想 例3 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm. （1）若广告商要求包装盒侧面积S (cm2)最大，试问x应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V (cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 跟踪训练3 某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)；成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)．又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． （1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？ 题型四 数形结合思想的应用 例4 求函数f(x)＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中a>0)? 跟踪训练4 已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则a，b的正负为__________． 30