§1.3.4
【知识要点】
导数的实际应用导学案
1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相
应的 _____或 ．这些都是最优化问题．
2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的 ．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的 【问题探究】
题型一 面积、体积的最值问题
例1 如图所示，现有一块边长为a的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
跟踪训练1 已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长．
题型二 强度最大、用料最省问题
例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？
跟踪训练2 挖一条隧道，截面拟建成矩形上方加半圆，如果截面积为20 m2，当宽为多少时，使截面周长最小，用料最省？
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题型三 省时高效、费用最低问题
例3 如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送．火车时速为50 km，船时速为30 km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短？
跟踪训练3 如图所示，设铁路AB＝50，BC＝10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省？
跟踪训练4 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝
a
＋10(x－6)2，其中3 克． （1）求a的值； （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【当堂检测】 1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( ) A．4 B．6 C．4.5 D．8 2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为多少？ 3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表13 示为y＝x3－x＋8(0 128 00080地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 17 【课堂小结】 1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 （1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系； （2）列模型：列出实际问题的数学模型； （3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； （4）求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； （5）比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； （6）结论：根据比较值写出答案． 2．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数，等等. 习题课导学案 【学习要求】 1．理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想. 2．会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)． 【双基自测】 1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上 ( ) A．单调递增 B．单调递减 C．有最大值 D．有最小值 2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( ) A．f(x)>0 B．f(x)<0 C．f(x)＝0 D．不能确定 3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ( ) A．－1 B．0 C．－239 D． 33 4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为 ( ) 5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件． 【问题探究】 题型一 函数与其导函数之间的关系 例1 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是 ( 跟踪训练1 已知R上可导函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为 ( ) 18 ) A．(－∞，－2)∪(1，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1,2) C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞) 题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1 例2 设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)． x1 （1）求g(x)的单调区间和最小值． （2）讨论g(x)与g()的大小关系． x 跟踪训练2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x?R. （1）求f(x)的单调区间与极值；（2）求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1. 题型三 导数的综合应用 例3 已知函数f(x)＝x3－ax－1. （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围； （2）是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由． 11 －，?，则实数a的值是多少？ 跟踪训练3 （1）若函数f(x)＝4x3－ax＋3的单调递减区间是??22? ?（2） 若函数f(x)＝4x3－ax＋3在??－2，2?上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？ 19 11 【当堂检测】 1．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 ( ) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1]，(0,1) D．[－1,0)，(0,1] 2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 ( ) 1 ，＋∞? A．??3? 11 －∞，? C．?，＋∞? B．?3???3? 1 －∞，? D．?3?? 3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 4．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a 5．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x) 2 【课堂小结】 导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法. 【拓展提高】 1321．等差数列?an?中的a1、a4005是函数f(x)?x?4x?6x?1的极值点，则log2a2013?（ ） 3A．2 B．3 C．4 D．5 2．函数f(x)?12x?x?2lnx?a在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a的取值范围是_____ 2223．已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c（a,b,c?R），若函数f(x)在区间[?1,0]上是单调减函数，则a?b的最小值是 4．已知函数f(x)?ln(x?32)?,g(x)?lnx. 2x （1）求函数f(x)的单调区间；（2）如果关于x的方程g(x)?1x?m有实数根，求实数m的取值集合； 2（3）是否存在正数k，使得关于x的方程f(x)?kg(x)有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由. 20