§1.5.1曲边梯形面积与定积分(一) 导学案
【知识要点】
1．曲边梯形：曲线与 和 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．
2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝____________克服弹簧的拉力的变力所做的功：W＝____________.
【问题探究】
探究点一 求曲边梯形的面积
问题1 如何计算下列两图形的面积？
问题2 如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?
思考1 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
思考2 能否将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
i－1ii
思考3 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，?，n)上的值近似地等于右端点处nnni－1ii1
的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)
n3nn作为近似值，情况又怎样？
1
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．
2
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
探究点二 求变力做功
问题 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？
例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m处，求克服弹力所做的功．
21
跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？
【当堂检测】
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为 ( ) 1A．
n
23B． C．
nni－1i??n，n?上
1D． 2n
( )
2．函数f(x)＝x2在区间?
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小
1
3．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每
2个小区间的左端点)是________．
4．弹簧在拉伸过程中力F(x)＝5x(x为伸长量)，则弹簧从平衡位置拉长2所做的功为________
【课堂小结】
求曲边梯形面积和变力做功的步骤 （1）分割：n等分区间[a，b]；
（2）近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]； b－a
（3）求和：?f(ξi)·；
ni＝1
n
nb－a
（4）取极限：S＝lim?f(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取
n
n→＋∞i＝1
区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
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§1.5.2
【学习要求】
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分. 2．理解定积分的几何意义. 3．掌握定积分的基本性质．
定积分的概念导学案
【学法指导】
通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.
【知识要点】
1．定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0 i＝0n－1 把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 ，即2．在定积分 ?baf(x)dx＝_________. ?baf(x)dx中， 叫做被积函数， 叫做积分下限， 叫做积分上限， 叫做被积式． 3．如果函数f(x)在[a，b]的图象是 ，则f(x)在[a，b]一定是可积的． 4．定积分的性质 （1）（2）（3） ?babkf(x)dx＝ (k为常数)； 12??f(x)?fa ； (x)?dx＝ ± ?baf(x)dx＝ ＋ (其中a 【问题探究】 探究点一 定积分的概念 问题1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点． 问题2 怎样正确认识定积分 ?ba3 f(x)dx?利用定积分的定义，计算?10xdx的值． 跟踪训练1 用定义计算?21(1＋x)dx. 探究点二 定积分的几何意义 问题1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么问题2 当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时， 23 ?baf(x)dx表示什么？ ?baf(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？ 例2 利用几何意义计算下列定积分： 23 （1）?3－39－xdx； （2）?－1(3x＋1)dx. 跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： 2π1 （1）?1－1xdx； （2）?0cos xdx； （3）?－1|x|dx. 探究点三 定积分的性质 问题1 定积分的性质可作哪些推广？ 问题2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 例2 计算?39－x2－x3)dx的值． －3( 115756323222 跟踪训练3 已知?1，?1xdx＝，?4，求： 0xdx＝，?1xdx＝2xdx＝4433 342223 （1）?203xdx； （2）?16xdx； （3）?1(3x－2x)dx. 【当堂检测】 1．下列结论中成立的个数是 ni3113 ①?0xdx＝ 3·； i＝1nn ( ) ? n 13 ②?0xdx＝lim n→＋∞i＝1 ni31?i－1?3113 ； ③?0xdx＝lim? 3·. ?n3·nnnn→＋∞i＝1 A．0 2．定积分 B．1 C．2 D．3 ( ) ?baf(x)dx的大小 A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关 3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子： 12222 （1）?10xdx________?0xdx； （2）?04－xdx________?02dx. π24．已知0?sin xdx＝π2??π2sin xdx＝1，0?π3 xdx＝，求下列定积分： 24 2 π （1）?0sin xdx； （2） ?n π20(sin x＋3x2)dx. 【课堂小结】 1．定积分 ?baf(x)dx是一个和式? nf(ξi)的极限，是一个常数． i＝1 b－a 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分． 3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算． 24 §1.6微积分基本定理导学案 【学习要求】 1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分． 【学法指导】 微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法. 【知识要点】 1．微积分基本定理：如果f(x)在区间[a，b]上可积，并且_________，那么?baf(x)dx＝ ． 2．定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则 （1）当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?baf(x)dx＝ ． （2）当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?baf(x)dx＝_______． （3）当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?b若S上＝S下，则?baf(x)dx＝ ，af(x)dx＝ . 【问题探究】 探究点一 微积分基本定理 问题1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？ 问题2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)? 例1 计算下列定积分： 1130x （1）?21dx； （2）?1(2x－2)dx； （3）?－π(cos x－e)dx. xx 跟踪训练1 计算下列定积分： 43 （1）?1025xdx； （2）?1(x＋ 12 )6xdx. x25