第十九章 四 边 形
【知识概念图表】
知识要点（定义、公理、定理、公式、法则） （一）平行四边形 定义及平行四边形性质 表示法 平行四边形判定 及面积 其他定理 方法指引 平行四边形判定的常用方法有五种，关于“边”的有三条，关于“角”①推论： ①丙组对边分别平（1）定义:丙组对边分别平行平的四边行形叫做四平行四边边形。 形 对角相等； （2）表示：用从“□”和对四个顶点的字母来表看 ③平行四边形的角对角线互相平分； 线边形 ； 半； 的四边形是平行四三边的一④对角线互相平分且等于第第三边，并四边形 ； 形的中位线平行于②平行四边形的等的四边形是平行理 ：三角③一组对边平行相中位线定对边相等； 看 四边形 ； ②三角形①平行四边形的边等的四边形是平行段相等； 从②两组对边分别相具有四边形的一行的四边形是平行切性质外，还有： 四边形； 平行线间的平行线夹在两条的有一条，关于“对角线”的有一条，常用“顺口溜”帮助记忆，即：判定平行四边形，两个条件才能行，两组对边都平行，或证对边都相等，一组对边也可以，必须相等且平行。对角线是个宝，互相平分也能行，对角相等也有用，两组对角才能成。反之，判定成性质，还是中心对称形，面积计算也简单，底边与高来相乘。
示。 ④平行四边形是从中心对称图形，两角条对角线的交点看 四边形。 就是对称中心。 高。 等的四边形是平行积=底×⑤两组对角分别相边形的面③平行四 方法指引 矩形的判定口诀：任意一个四边形，三个直角（二）特殊的平行四边形 1.矩形 定 义 矩形性质 矩形判定 其他定理及面积 成矩形，对角线等互平分，那它一定是矩形；已知平行四边形，一个有一个角是直①直角三角形斜边(1)定义：有一个角是直角的平行四边矩形叫做矩形 形。 ①矩形的四个角都是直角； 从直角叫矩形，两对角线角的平行四边形是矩形； 角看 有三个角是直角的四边形是矩形； ②矩形既是中心对上的中线等于斜边若相等，理所当然为矩的一半； 形。 矩形的性质：除了具有称图形，也是轴对称平行四边形的一切性质图形，对称中心是对外，还有自己特有的性角线的交点，对称轴从是过对边中点的直②矩形的对角线相等。 对角线看 对角线相等的线； 平行四边形是矩形。 ③矩形面积=长×(2)表示法：“矩形”+“顶点字母”。 质。即四个角都是直角，对角线都相等，还具有“双对称性”。 方法指引 宽。 菱形的判定口诀：任意2.菱形 一个四边形，四边相等定 义 菱(1)定义：形 有一组邻四条边都边等的平行四边称图形，也是轴对称①菱形的从有一组邻边相①菱形既是中心对菱形性质 菱形判定 其他定理及面积 成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形。已知平行四边形，邻边相等叫菱形，两对角线
边相等的平行四边四条边都相等形叫做菱的四边形是菱形。 形； (2)表示②菱形的法：“菱形”对角线互+“顶点字相垂直，并母”。 且每一条对角线平分一组对角。 角线看 直的平行四边角线长的积的一半，形是菱形。 即S=（a×b）÷2 对对角线互相垂有：菱形面积等于对从积计算方法外，还特用平行四边形的面②菱形面积除了可线； 是对角线所在的直相等； 看 形是菱形； 图形，对称中心是对角线的交点，对称轴若垂直，顺理成章为菱形。 菱形的性质：也是除了具有平行四边形的一切性质外，还有自己特有的性质，即四条边都相等，对角线垂直，且每一条对角线平分一组对角。也具有“双对称性”，面积计算还特有一个公式，即两条对角线的长的积的一半。 3.正方形 正方形定 义 正方形性质 判定 其他定理及面积 方法指引 正方形是一个极其特殊的四边形，它包含了平①正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所(1)定义：四条边都相等，正方四个角都是直角的四边①正方形的四个角都是直角，①有一个角是直角的行四边形、矩形、菱形的所有性质，也同样具有“双对称性”，面积的计算也有两个公式。 它的判定是比较原则性的，即只要能判定它既是一个矩形，又是一个菱形，就可判定它是一个正方形。常用的有两个，即有一个角是直角四条边都相等； 菱形是形 形叫做正方形； ②正方形的两(2)表示法：条对角线相等，“正方形”+“顶点字并且互相垂直平分，每条对角正方形； 在的直线以及过对边中点的直线； ②有一组邻边相等的矩形是②正方形面积等于边长的平方，也等于两条对角线长的积的一半的。
母”。 线平分一组对角 。 正方形。 的菱形是正方形，以及有一组邻边相等的矩形是正方形。 （三）梯形 深度理解 等腰等腰梯形概 念 性质 判定 积计算 梯形定理及面常见辅助线作法 梯形其他①梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线； ①在①梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯梯 形。 ①等腰梯同一形在同一底上底上的两的两个角相个角等； 相等②等腰梯的梯形的两条形是对角线相等腰①梯形中①平移一腰：把梯形位线定理：转化成了一个平行梯形的中四边形和一个三角位线平行形； 于两底，并②作两条高：分成矩且等于两形和两个直角三角底和的一形； 半 ，即L=（a+b）÷2 ③平移一对角线：使②梯形面积=中位线长×高，④延长两腰：构造具即：有公共角的两个相S=L×h ，似三角形； 也等于：⑤过一腰中点作直两对角线转移到同②记写梯形时，用“梯形”+“四个顶点字母”； ③用数学符号记写梯形时，常常要告诉哪两边平行，象告诉直角三角形一样，交待要具体，须告诉哪个角是直角。 方法指引 其实，梯形的面积公式： ②等腰梯形形 定义：两腰相等的梯形③等腰梯叫做等腰梯形是轴对等。 梯形 ； 一个三角形中； “（上底+下底）×高÷②对形。 称图形，角线③直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 过上下底相等的中点的的梯直线是它形是的对称等腰轴。 梯形。 2”，这一个公式就涵盖了特殊四边形和三角形的面积公式，它们的内在联系是，当梯形的某一底缩小为0时，就是一个三角形，其面积公式不就是：“底×高÷2”（上底+下线：构造两个全等三底）×高÷角形。 2.
（四）几种常见几何图形的重心 1.线段的重心就是线段的中点； 2.平行四边形的重心就是它的两条对角线的交点； 3.三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心； 4.等腰三角形的重心在底边的中垂线上； 5．正多边形的重心就正多边形的中心。 吗？当两底变得一样长时，就变成了一个平行四边形，其面积公式不就是：“底×高”吗？ 【易混易错剖析】
1.对于概念的内涵和外延把握不准，包含关系混淆不清，另外，对于每一个特殊的四边形的性质和判定把握不准确。一是要重视各个概念的定义，因为那是它的本质属性（如下图），由定义我们可以弄清其包含关系，矩形、菱形都包含了正方形，正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形；而矩形和菱形又都是特殊的平行四边形，平行四边形包含有矩形和菱形及正方形；平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，包括梯形也是特殊的四边形；二是要抓好“对角线”这条纽带，从图中可以从对角线角度来厘清各概念的联系。（见下图）对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形；三是我们必须要高度熟练各个特殊四边形的性质和判定，尤其是判定最容易混淆，有人总结有顺口溜可帮助记忆（见前面总结的概念图表）。