有一个角 是直角 平行四边形 矩形 邻边相等 正方形 有一个角是直角且邻边相等 邻边相等 菱形 有一个角是直角 两组对边 分别平行 四边形 一组对边平行 另一组对边不平行
等腰梯形 两腰相等
梯形
有一个角 是直角 相等 矩形 直角梯形 垂直
相等且互相平分 四边形 互相平分 平行四边形 垂直 相等且互相垂直 正方形
相等 菱形 互相垂直平分 互相垂直平分且相等
典型示例：
选择：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，当其对角线AC和 BD（ ）时，四边形EFGH是正方形。
A. AC⊥BD B. AC=BD C. AC⊥BD且AC=BD D.以上都不对
A E B O H D
G F 易混1图 C 常见错误：选A。 解析点评：
本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定。多边形总是被对角线分割成一些三角形，四边形也不例外，每条对角线都能把它分成两个三角形，那么四边形的四边中点的连线就成了相应三角形的中位线，三角形的中位线是平行于第三边且等于第三边的一半的，所以EFGH的四条边中EH与FG都平行且等于BD的一半的，EF与HG都平行且等于AC的一半的，这样，我们就轻易得到：EH平行且等于FG的，或者EF平行且等于HG的，因而四边形EFGH就是平行四边形，要想使一个平行四边形成为矩形，需要有一个直角，考虑到它的边都与对角线AC、BD有关，根据平行线的性质，只有当AC⊥BD时，平行四边形EFGH才会成为矩形。什么样的矩形才是正方形呢？有一组邻边相等的矩形就是正方形。由于EFGH的四条边中EH与FG都等于BD的一半的，EF与HG都等于AC的一半的，所以只有当两条对角线AC和BD相等时，才有四边形EFGH的邻边相等，因而，当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH才是正方形。故正确答案应选C。 本题启示：
ⅰ把四边形问题转化为三角形问题来加以解决是我们的一贯策略。ⅱ见到三角形或者是四边形的边的中点，要马上想到以下定理：a三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；b直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；c等腰三
角形底边上的中线也是底边上的高，还是顶角的平分线等等。ⅲ对于特殊四边形的判定和性质要相当熟练。平行四边形的判定方法共有哪几条？a从边的角度去判定主要有三条：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；b从角的角度去判定主要是：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；c从对角线的角度去判定主要有：对角线互相平分的四边形是平行四边形等共有五条判定定理。那么平行四边形的性质都有哪些呢？a边的方面：平行四边形的两组对边分别平行，平行四边形的两组对边分别相等；b角的方面：平行四边形的两组对角分别相等；c对角线方面：平行四边形的两条对角线互相平分。那么矩形都有哪些判定方法呢？主要有两条：a从角的角度去判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；b从对角线的角度去判定：对角线相等的平行四边形是矩形。那么矩形的性质又是什么呢？除了具备平行四边形所有性质外，还有：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。至于菱形的判定主要有三条：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。菱形的性质是除了具备平行四边形所有性质外，还具有：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。对于正方形，常用的判定有二：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。至于正方形的性质就更多，具备了平行四边形，矩形，菱形的所有性质，具体地说：正方形的四个角都是直角；四条边都相等，对边平行且相等；对角线互相平分、相等且互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。我们只有对定理熟练了，在使用时才会得心应手。其实诸如此类的问题还真的不少，注意连接任意四边形的四边中点得到的四边形就是平行四边形，那么根据需要再去思考看还需要什么条件就添加什么条件。如： ⅰ顺次连结下列四边形各边的中点，所得的四边形为矩形的是（ ） A、等腰梯形 B、矩形 C、菱形 D、平行四边形 ⅱ顺次连结四边形各边中点得到一个菱形，则原四边形必是（ ）
A、矩形 B、梯形 C、两条对角线互相垂直的四边形 D、两条对角线相等的四边形
其中ⅰ的正确答案应选C；ⅱ的正确答案应选D；
2.将四边形的内容与三角三边关系定理，与直角三角形性质，与等边三角形性质，分类讨论问题等相结合时，往往由于缺乏技能而出现错误。 典型示例：
①选择：平行四边形的一边长为5cm，则它的两条对角线长可以是（ ） A、4cm, 6cm B、4cm, 3cm C、2cm, 12cm D、4cm, 8cm
②填空：已知平行四边形一内角为60，与之相邻的两边为2cm和3cm，则其面积为 _ _cm。
③填空：矩形ABCD的对角线交于点O．一条边长为1，△OAB是正三角形，则这个矩形的周长为______．
④填空：已知梯形上、下底长分别为6，8，一腰长为7，则另一腰a的范围是_ _； 常见错误：
①选A、B、C的都有； ②没填结果的多，也有填6cm.
③只填一个答案的较多。填：2?23或只填：2?④填：1?a?13或2?a?15。 解析点评：
①如图，由于平行四边形的对角线是互相平分的，那么两条对角线长的一半与这条边长要能满足三角形三边关系定理才行。显然A两个量的一半分别是2cm和3cm，那么与5cm显然是有问题的，因为2+3=5，所以A不对；B两个量的一半分别是2cm和1.5cm，同样与5cm也是不能满足三边关系定理的；C两个量的一半分别是1cm和6cm，与5cm显然
23； 32
2
0
也是有问题的，因为6-5=1，不能满足三边关系定理；那么D选项如何呢？两个量的一半分别是2cm和4cm，它们与5cm，显然较短的两边之和2+4=6>5，所以只有D才是正确的。
本题启示：四边形的问题往往要转化为三角形的问题加以解决，当然要善于联系平行四边形的相关性质。
5 ①图
②本题其实有两种情况，但是却只有一种结果。如图，从平行四边形的一个顶点向对边作垂线，构造直角三角形，由直角三角形的边角关系可得前一个图形的高为3cm，后
一个图形的高为
332cm，由三角形的面积计算公式可得：它们的面积都是33cm.因22而正确的答案应是33cm.
本题启示：要善于构造直角三角形，将特殊角转移在直角三角形中，利用解直角三角形的知识和平行四边形的面积计算公式求解。
2cm 600 3cm 3cm
②图
600
2cm
③本题要注意也是有两种可能性情况，由于长为1的边不确定，因而要分类讨论。如图，ⅰ当AB=1时，因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=900，又因为△OAB是正三角形，