11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
能力提升
12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的
2
水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍．
4
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
1．2．3 空间几何体的直观图 答案
知识梳理
(1)垂直 (2)平行 (3)不变 一半 作业设计
1．B [由斜二测画法的规则判断．] 2．B 3．A [
根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]
4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．] 5．C
6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以SABCD＝2＋2．
图1 图2]
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
8．2．5
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．
29．
2解析
2122
画出直观图，则B′到x′轴的距离为·OA＝OA＝．
2242
10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．
11．解 (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′31
＝AE＝3≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED，再过点D′作
22
D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
12．解 先画出正三角形ABC， 然后再画出它的水平放置的直观图， 如图所示．由斜二测画法规则知
3
B′C′＝a，O′A′＝a．
4
过A′引A′M⊥x′轴， 垂足为M，
326
则A′M＝O′A′·sin 45°＝a×＝a．
428
116
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′M＝a×a
228
6
＝a2． 1613．
解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2， AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．
§1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．
1．旋转体的表面积 名称 圆柱 圆锥
图形 公式 底面积：S底＝________ 侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝2πr(r＋l) 底面积：S底＝________ 侧面积：S侧＝________ 表面积：S＝________ 上底面面积： S上底＝____________ 下底面面积： S下底＝____________ 侧面积：S侧＝__________ 表面积： S＝________________ 圆台 2．体积公式 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
1
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋S′S＋S)h．
3
一、选择题 1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
842
A．8 B． C． D．
πππ
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
1＋2π1＋4π1＋2π1＋4πA． B． C． D． 2π4ππ2π3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24π cm12π cm B．15π cm12π cm C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
2,32,3
113
A．7＋2 B．＋2 C．7＋3 D． 22
二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm3．
9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．