三、解答题 10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)
11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋23 B．4π＋23
2323
C．2π＋ D．4π＋ 33
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．
1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
11S′＝SS′＝0
V柱体＝Sh――→V台体＝h(S＋SS′＋S′)――→V锥体＝Sh．
33
4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．
§1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
答案
知识梳理
1．πr2 2πrl πr2 πrl πr(r＋l) πr′2 πr2 π(r′＋r)l π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
1
2．(1)Sh (2)Sh
3
作业设计
4
1．B [易知2πr＝4，则2r＝，
π
48
所以轴截面面积＝×2＝．]
ππ
1＋2π
2．A [设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：．]
2π
3．A [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
38
则2πr＝πl，则l＝r，所以
438118
A＝πr2＋πr2＝πr2，B＝πr2，得A∶B＝11∶8．]
333
1
4．B [以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πb2a，以长为b的直角边所
3
1
在直线旋转得到圆锥体积V＝πa2b．]
3
5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm2,12π cm3．]
6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S
1
表面＝2S底＋S侧面＝(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．] 2
7．3
解析 由题意知，
圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和， 即2πr×3＝2πr2，所以r＝3． 2881928．或
ππ
6
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝，
π
2883?6?2·所以V＝π·8＝(cm)． ?π?π
4
(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r＝，
π
1923?4?2·所以V＝π·12＝ (cm)． ?π?π
8 0009． cm3
3
解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，
18 000V＝Sh＝ cm3．
3310．解
如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°， 故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40， 所以AB＝SB－SA＝20， ∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
2
＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr2
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． 故圆台的表面积为1 100π cm2．
h＝AB2－?OB－O1A?2＝202－102＝103，
12V＝πh(r21＋r1r2＋r2) 317 0003＝π×103×(102＋10×20＋202)＝π (cm3)． 33
7 0003
即圆台的表面积为1 100π cm2，体积为π cm3．
3
11．
解 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12．
1
连接OE、O1E1，则OE＝AB
2
11
＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3． 22
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3， HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17， 所以E1E＝317．
1
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E
2
＝2×(12＋6)×317＝10817．
12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积
123为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为×(2)2×3＝，所以该几何体33
23的体积为2π＋．]
3
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1． 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．
1．3．2 球的体积和表面积
【课时目标】 1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．
一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
6ππA． B．
622π3πC． D．
2π
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A．2倍 B．22倍
3C．2倍 D．2倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( ) A．1∶3 B．1∶3 C．1∶33 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( ) A．1∶2∶3 B．1∶2∶3 C．1∶22∶33 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．25π B．50π
C．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )
A．4∶9 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4
二、填空题
7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________； (2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
能力提升 12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则( )
A．以上四个图形都是正确的