第七章：空间解析几何向量代数
本章知识点
1、几种常用的曲线。 2、曲面极其方程示例。
3、空间曲线（直线）极其方程示例。 4、二次曲面示例。
重点：向量运算、平面及其方程、空间直线及其方程 难点：曲面及其方程
7.1向量及其线性运算 一、向量概念
1、向量的概念 既有大小又有方向的量 向量的模a 零向量
二、向量的线性运算
1、 向量的加减法 1）交换律:a?b?b?a
2）结合律(a?b)?c?a?(b?c)
3)a?0?a,a?(?a)?0
2、向量与数的乘法 结合律：?(?a)?(??)a
分配律：(???)a??a??a
?(a?b)??a??b
1a 单位向量a?0a
定理1 若向量a?0,则向量b与a平行的充要条件是：存在实数?,使得b??a
1
三、 空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算
a??ax,ay,az? b?(bx,bybz)
a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz)
?a???ax,?ay,?az?
五、向量的模、方向角、投影 1、 向量的模与两点间的距离公式
222 向量的模 a?x?y?z
点间距离 d?(x1?x2)??y1?y2??(z1?z3)
2222、向量的模与方向余弦的坐标表示式
?11?a1a2a3??01） 方向余弦{cos?,cos?,cos?}??,,??{a1,a2,a3}?a?a
aa??aaa??2） 两非零向量夹角余弦的计算公式cosa,b?a1b1?a2b2?a3b3ab
?例1已知两点M1(2,2,2)和M2(1,3,0),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角
2、 向量在轴上的投影
（1）定义 向量a在向量u上的投影 (a)u?acosa,u （2）性质 7.2 数量积 向量积
2
一、两向量的数量积 a?b?abcosa,b
(1)a?a?a
2(2)对非零向量a,b,a?b的充要条件是a?b?0
(3) 非零向量a与b垂直的充要条件是 a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0
例1 试用向量证明余弦定理
例2已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求?AMB
二、 向量的向量积 a?b?absina,b
两非零向量平行的充要条件是 a?b?0 向量叉乘运算律 （1）a?b??b?a
(?a)?b??(a?b)a?(?b)??(a?b) （2）
（3）
(a?b)?c?a?c?b?cc?(a?b)?c?a?c?b
ijk若a?{a1,a2,3},B{b1,b2b3},则a?b?a1a2a3
b1b2b3?x?2y?z?1?0例3 a?{2,1,?1}和b?{1,?1,2}，计算a?b 例 求直线l:?与平面
x?2y?z?1?0?S:x?2y?z?1?0的夹角?
3
7.3 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)?0(1)
有下述关系：
1. 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1)； 2. 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1)，
那末，方程(1)就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。
二、旋转曲面 旋转曲面方程
设平面曲线 l :
绕z轴旋转,则旋转曲线方程为
例 1 试建立顶点在坐标原点O旋转轴为z轴，半顶角为?圆锥面方程。
三、柱面
母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程,如F(y, z)=0就表示母线平行与x
轴,准线为 的柱面.
?x2?y2?R2例 2 求以曲线L:?为准线，以a?{1,1,1}为母方向的柱面方程
z?0?
四、 二次曲面
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我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了了解三元方程F (x , y ,z )=0所表示得的曲面的形状，我们通常采用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。 1 椭球面
方程 2 抛物面
所表示的曲面叫做椭球面。
方程
3 双曲抛物面
（p 和q 同号）所表示的曲面叫做抛物面。
方程 4 双曲面
（p 和q 同号）所表示的曲面叫做双曲抛物面。
方程 所表示的曲面叫做单叶双曲面。
方程 5 椭圆锥面
2222所表示的曲面叫做双叶双曲面。
xa?yb?z
27 .4 空间曲线及其方程 一、 空间曲线一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 F(x, y, z)=0 和 G(x, y, z)=0
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