>其中f>（x>，y>）叫做被积函数，f>（x>，y>）ds >叫做被积表达式，ds >叫做面积元素，
x>与y>叫做积分变量，D>叫做积分区域，叫做积分和。
>在二重积分的定义中对闭区域D>的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D>，那末除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形闭区域D s i>的边长为D xj>和D yk>，则D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐标系中，有时也把面积元素ds >记作dxdy>，而把二重积分记作 >
>其中dxdy>叫做直角坐标系中的面积元素。
>这里我们要指出，当f>（x>，y>）在闭区域D>上连续时，（*>）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f>（x>，y>）在D>上的二重积分必定存在。 >
二、 二重积分的性质
二重积分与定积分有类似的性质：
>性质1 >被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即
> >（k>为常数）。
>性质2 >函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。例如 >
。
>性质3 >如果闭区域D>被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D>上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D>分为两个闭区域D1>与 D2>，则 >
。
此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。
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>性质4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 为D>的面积，则 >
。
>此性质的几何意义很明显，因为高为1>的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。 >性质5 >如果在D>上，f>（x>，y>）? j >（x>，y>），则有不等式 >
。
特殊地，由于
>- | f>（x>，y>）| >? f>（x>，y>）? | f>（x>，y>）|>， > 又有不等式
。
>性质6 >设M>，m>分别是f>（x>，y>）在闭区域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面积，则有 >
。
上述不等式是对二重积分估值的不等式。
>性质7>（二重积分的中值定理） >设函数f>（x>，y>）在闭区域D>上连续，s 是D>的面积，则在D>上至少存在一点（x ，h ）使得下式成立： >
9.2 二重积分的计算法（直角坐标，极坐标）
按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和积分区域来说，这不是一种切实可行的方法。这里介绍一种方法，把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。
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一、 利用直角坐标计算二重积分
下面用几何的观点来讨论二重积分的计算问题。
在讨论中我们假定f（x，y）? 0。并设积分区域D可以用不等式 j 1（x）? y ? j 2（x），a?x?b
其中函数j 1（x）、j 2（x）在区间 [a，b] 上连续。
我们应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积。 为计算截面面积，在区间 [a，b] 上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间 [j 1（x0），j 2（x0）] 为底、曲线z = f（x0，y）为曲边的曲边梯形中阴影部分），所以这截面的面积为
。
一般的，过区间 [a，b] 上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
，
于是，得曲顶柱体的体积为
。
这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式
。（1）
上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分。就是说，先把x看作常数，把f（x，y）只看作y的函数，并对y计算从j 1（x）到j 2（x）的定积分；然后把算得的结果（是x的函数）再对x计算在区间 [a，b] 上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记作
。
因此，等式（1）也写成
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，（1’）
在上述讨论中，我们假定f（x，y）? 0，但实际上公式（1）的成立并不受此条件限制。 类似地，如果积分区域D可以用不等式 ψ1（y）? x ? ψ2（y），c?y?d
其中函数ψ1（y）、 ψ2（y）在区间 [c，d] 上连续，那末就有
。
上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作
。
因此，等式（2）也写成
，（2’）
这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式。
如果积分区域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我们可以把D分成几个部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域。如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，则由公式（1’）及（2’）就得
。
上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分
。
二重积分化为二次积分时，确定积分限是一个关键。而积分限是根据积分区域D的类型来确定的。
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例1 计算，其中D是由直线y = 1、x = 2及y = x所围成的闭区域。
例2 求量各底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积。 二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标
变量r，θ比较简单。这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义有
。
，
由于在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成
这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式为
(1)0?r?φ（θ），α?θ?β
。
(2)0?r?φ（θ），0?θ?2π
。
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