由二重积分的性质4，闭区域D的面积s 可以表示为
。
在极坐标系中，面积元素ds = rdrdθ，上式成为
。
。
特别地，如果闭区域D如图9-2-8所示，则φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是
。
例3 计算
，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域。
例4 求球体x+y+z?4a圆柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。 9.3三重积分 一、
三重积分的概念
222222
定义 设f(x,y,z)空间有界闭区域?上的有界函数。将?任意分成n个小闭区域
?v1,?v2,?,?vn,
其中?vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在每个?vi上任取一点(?i,?i,?i),作乘积
nf(?i,?i,?i)?vi(i?1,2,?,n),并作和?f(?i,?i,?i)?vi.如果当各个小闭区域直径中的
i?1 26
最大值?趋于零时这和的极限为函数f(x,y,z)在闭区域?上的三重积分。记作
????f(x,y,z)dx.
三、 三重积分的计算
1． 利用直角坐标计算三重积分
???(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?Dxy?.
F(x,y)??z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz
??Dz2(x,y)?F(x,y)d?????f(x,y,z)dz?d? ???z1(x,y)?DxyDxy??(x,y)y1(x)?y?y2(x),a?x?b?
????f(x,y,z)dv??badx?y2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz
例1 计算三重积分???xdxdydz,其中?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成的
?区域。
2． 利用柱面坐标计算三重积分
????f(x,y,z)dxdydz????F(?,?,z)?d?d?dz,
?例2 利用柱面坐标计算三重积分???zdxdydz,其中?是由曲面z?x2?y2与平面
?z?4所围成的闭区域。
3、 用球面坐标计算三重积分
???f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d?,
??2例3 求半径为a的球面与半顶角为a的内接锥面所围成的立体的体积。 9．4. 重积分的应用
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一、 曲面的面积
曲面S z?f(x,y)
曲面面积 A???1?fx(x,y)?fy(x,y)d?
22D例1 求半径为a的球的表面积。 二、质心、转动惯量、引力
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