例2 求极限I?limxy?1?1xy.
x?0y?0 有界闭区域上连续函数的性质
性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
8.2 偏导数
一、偏导数的概念与计算
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0),
如果
存在，则称此极限为函数z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作
或 fx（x0，y0）。
对于函数z=f(x,y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。
例1 求函数z?x?3xy?y在点(1,2)处的偏导数
22xy??22例4 验证函数f(x,y)??x?y?0?(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)在(0,0)点的偏导数都为0,但在点
(0,0)不连续
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二、 高阶偏导数
定理 如果函数z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数区域内这两个二阶混合偏导数必相等。 例1 求z?x3y2?3xy3?xy?1的二阶偏导数
在区域D内连续，那末在该
例2 验证函数z?lnx?y22满足方程
?z?x22??z?y22?0
8.3 全微分 1、全微分的概念
定义 如果函数z?f(x,y)在点(x,y)的全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)
可表示为
?z?A?x?B?y?o(?),
其中A,B不依赖于?x,?y而仅与x,y有关，??(?x)?(?y),则称函数z?f(x,y)在
22点(x,y)可微分，而A?x?B?y.称为函数z?f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz,即
dz?A?x?B?y.
定理1 若函数f(x,y)在点(x,y)可微，则函数f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在，且
fx(x,y)?A,fy(x,y)?B
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定理2 如果函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数连续，则函数f(x,y)在点(x0,y0)可微
例1 求函数z?x2y?y2的全微分 3、全微分在近似计算中的应用
f(x??x,y??y)?f(x,y)?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y
例2 求ln(31.03?
40.98?1)的近似值
8.4 多元复合函数的求导法则
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形。
定理1 如果函数u=φ(t)及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(t), ψ(t)]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形。
定理2 如果函数u??(x,y)及v??(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z?f[?(x,y),?(x,y)]的两个偏
导数存在，且有
?z?x?z?u?u?x?z?v?v?x ??,
3、 复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元的情形。
定理3 如果函数u??(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,v??(y)在点y
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可导，z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z?f[?(x,y),?(y)]的两个偏导数存在,且有
?z?x?z?y??z?u?u?x?z?u?u?y,
???zdv?vdy,
例1 设z?eusinv,u?xy,v?x?y,求zx,zy.
dzdt例4 设z?uv?sint,u?et,v?cost,求全导数全微分形式的不变性
.
如果函数u?u(x,y),v?v(x,y),z?f(u,v)分别有连续的偏导数，则复合函数
?z?x?z?yz?f[u(x,y),v(x,y)]的全微分为dz?dx?dy
而
?z?x??z?u?u?x??z?v?v?x ,
?z?y??z?u?u?y??z?v?v?y
8.5 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形
隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0) ≠ 0，则方程F(x,y) = 0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x)，它满足条件y0 = f(x0)，并有
。
上面公式就是隐函数的求导公式。
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隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0) = 0, Fz(x0,y0,z0) ≠ 0，则方程F(x,y,z) = 0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数z = f(x,y)，它满足条件z0 = f(x0,y0)，并有
。
例 1x?y?z?4z?0求
222?z?x22
三、 方程组的情形
隐函数存在定理3 设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续的偏导数，又 F(x0,y0,u0,v0)?0，G(x0,y0,u0,v0)?0且偏导数所组
?F?F?v在点P(x,y,u,v)不等于零则有
0000?G?v?(F,G)成的函数的行列式 J???u?G?(u,v)?u
。
?u?x?v?y例 2xu?yv?0,yu?xv?1求,
8.6 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面
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