设空间曲线Г的参数方称为 x=φ(t)，y=ψ(t)，z=ω(t)，
这里假定上式的三个函数都可导。在曲线Г上取对应于t=t0的一点M（x0，y0，z0）。 曲线在点M处的切线方程 x?x0y?y0z?z0
???t0????(t0)???(t0)
切线的方向向量称为曲线的切向量。向量 T={φ'（t0），ψ'（t0），ω'（t0）} 就是曲线Г在点M处的一个切向量。
通过点而与切线垂直的平面称为曲线Г在点M处的法平面，它是通过点M（x0，y0，z0）而以T为法向量的平面 法平面的方程
φ'（t0）（x-x0）+ψ'（t0）（y-y0）+ω'（t0）（z-z0）= 0。 例 求曲线x?t,y?t,z?t在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。 二、 曲面的切平面与法线
设曲面Σ由方程F（x,y,z）= 0给出，M（x0，y0，z0）是曲面Σ上的一点，并设函数F（x,y,z）的偏导数在该点连续且不同时为零。则根据解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面Σ在点M的切平面。这切平面的方程是 Fx（x0，y0，z0）（x-x0）+Fy（x0，y0，z0）（y-y0）+Fz（x0，y0，z0）（z-z0）= 0 通过点M（x0，y0，z0）而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是x=3 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。向量 n = {Fx（x0，y0，z0），Fy（x0，y0，z0），Fz（x0，y0，z0）} 就是曲面Σ在点M处的一个法向量。
22223例1 求球面x?y?z?14在点P0(1,2,3)处的切平面方程与法线方程。
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8.7 方向导数与梯度 一、
方向导数
定理 如果函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微分，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数存在，且有
?f?l(x0.y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos?
二、 梯度
gradf(x0,y0)?fx(x0,y0)i?fy(x0,y0)j ?f?l(x0.y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos?=gradf(x0,y0)?e
7.8 多元函数极值的求法 一、
多元函数的极值及最大值、最小值
定义 设函数z?f(x,y)的定义域为D,PO(x0,y0)为D的内点，若存在p0的某个邻域U(P0)?D,使得对于该邻域内异于P0的任何点(x,y),都有
f(x,y)?f(x0,y0),
则称函数f(x,y)在点(x0,y0)有极大值f(x0,yo),点(xo,yo)称为函数f(x,y)的极大值点。
极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。
定理1（必要条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0。
定理2（充分条件） 设函数z = f(x,y)在点(x0,y0)的某领域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0) = 0，fy(x0,y0) = 0，令
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fxx(x0,y0) = A，fxy(x0,y0) = B，fyy(x0,y0) = C， 则f(x,y)在(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值； （2）AC-B<0时没有极值；
（2）AC-B=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下： 第一步 解方程组
fx(x,y) = 0，fy(x,y) = 0，
求得一切实数解，即可求得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点(x0,y0)，求出二阶偏导数的值A、B和C。
第三步 定出AC-B的符号，按定理2的结论判定f(x0,y0)是否是极值、是极大值还是极小值。
33222
222
例1 求函数f(x,y)?x?y?3x?3y?9x的极值。 2、 多元函数最值问题应用举例
例 2某工厂用钢板制造一个体积为2立方米的有盖长方盒，问怎样选取、宽、高才最省钢板。
例 3有一块宽为24的长方形铁片，把它两边宽为x的边缘分别向上折成一个水槽，问x和?多大时使水槽的横截面面积S最大。 二、 条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数z = f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数
F（x,y）= f(x,y)+λφ(x,y) ，
其中λ为某一常数。求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程φ(x,y) = 0联立起来：
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有这方程组解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f(x,y)在附加条件φ(x,y) = 0下的可能极值点的坐标。
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。
第九章：重积分 本章知识点
1、二重积分的概念和性质。 2、二重积分的计算方法。 3、二重积分的应用。
4、三重积分的概念及计算方法。 重点:重积分的计算 难点：重积分的计算
9.1 二重积分的概念与性质 一、 二重积分的概念
为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。 1、平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xOy>面上的闭区域D>，它在点（x>，y>）处的面密度为ρ（x>，y>），这里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上连续。现在要计算该薄片的质量M>。
>由于面密度ρ（x>，y>）是变量，薄片的质量不能直接用密度公式（M =>ρS>）来计算。但ρ（x>，y>）是连续的，利用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域D s i>的直径很小，这些小块就可以近似地看作均匀薄片。在D s i>（这小闭区域的面积也记作D s i
>）上任取一点（x i>，h i>），则ρ（x i>，h i>）D s i>
（i = 1>，2>，?，n）可看作第i>个小块的质量的近似值[插图1]。通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值（记作λ）趋于零，取和的极限，便自然地得出薄片的质量M>，
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即 >
。
2、曲顶柱体体积
>再设有一立体，它的底是xOy>面上的闭区域D>，它的侧面是以D>的边界曲线为准线而母线平行于z>轴的柱面，它的顶是曲面z = f>（x>，y>），这里f>（x>，y>）? 0>且在D>上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V>。
>由于曲顶柱体的高f>（x>，y>）是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用上面的思想方法，用一组曲线网把D>分成n个小闭区域D s 1 ，D s 2>，?，D s n>，在每个D s i>上任取一点（x i>，h i>），则f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作以f>（x i>，h i>）为高而底为D s i>的平顶柱体的体积>[插图>2]>。通过求和，取极限，便得出 >
。
上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。
> 定义 >设f>（x>，y>）是有界闭区域D>上的有界函数。将闭区域D>任意分成n>个小闭区域
>D s 1 ，D s 2>，?，D s n>，
>其中D s 也表示它的面积。在每个D s （x h ，i>表示第i>个小闭区域，i>上任取一点i>，i>）
作乘积 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >?, n,>），并作和。如果
当各小闭区域的直径中的最大值l 趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f>（x>，
y>）在闭区域D>上的二重积分，记作，即
>。（*>）
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