第一章 函数 一、预备知识
1.一元二次方程与不等式 关于x的方程
（1）求根公式：
当△＞0时，方程有两个不同的实根：
，称为一元二次方程，
称为此方程的判别式.
当△＝0时，方程有一个二重实根：
当△＜0时，方程有一对共轭复根：
（2）根与系数的关系（韦达定理）：
（3）一元二次函数（抛物线）：
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.
对称轴顶点坐标.
（4）一元二次不等式 考虑不等式
，如果记一元二次方程
的两个不同实根分别为
，且
，根据一元二次函数的图形可知：
当 当
时，这个不等式的解集是时，它的解集是
.
；
用类似的方法可以求解不等式
例1.计算
的解集.
，
或
，
解：令 得
∴ 解集为
2.绝对值不等式 不等式 不等式
等价于等价于
.
或
；
3.二元一次方程组
两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.
当时，方程组有唯一解；
当时，方程组无解；
当时，方程组有无穷多解.
4.数列
（1）等差数列：相邻两项的差为定值， 即 通项公式：
，
称为公差.
前n项和公式： 当
时，
，
特别地：有.
（2）等比数列：相邻两项的商为定值，
即 通项公式：
，称为公比.
前n项和公式： 当 特别地：有
时，
.
二、函数的概念 1.定义域
①分母中含有自变量时，分母不能为零.
②偶次根式下含有自变量时，被开方式必须非负. ③对数式的真数含有自变量时，真数必须大于零.
④反正（或余）弦函数符号下含有自变量时，其绝对值不能大于1. （13年4月全国考题） 函数
的定义域是________.
答案：[2，5） 解析：
由
故定义域为[2,5）.
（13年1月全国考题）
设函数，则的定义域为________.
答案：
解析：
由
故定义域为.
2.函数相等的条件：两要素相等
定义域相等 对应法则相等 （13年7月浙江考题）
下列各对函数中，表示同一个函数的是
A. C.
与
与
答案：D
B.
D.
与与
解析：
，且定义域相同.
3.函数的四大性质
（1）有界性 （2）单调性 （3）奇偶性 （4）周期性 （13年4月全国考题） 设函数 A.
为奇函数 B.答案：A 解析：
,则
为偶函数 C.
为非奇非偶函数 D.
的奇偶性与参数a有关
是奇函数，故为奇函数.
（12年10月全国考题） 在区间
内，下列函数无界的是
A.sinx B.xsinx C.sinx +cosx D.cos（x+2） 答案：B
解析：xsinx为无界函数. 三、基本初等函数
六种基本初等函数有：常值函数，指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数.初等函数是由六种基本初等函数构成的.所以掌握基本初等函数的概念，性质是非常重要的.
（一）幂函数的性质 形如
的函数为幂函数，其中
，曲线
为任意常数.
性质： 对任意实数
＞0时，
都通过平面上的点（1，1）；
＜0时，
在（0，+∞）单调减少；
在（0，+∞）单调增加；
为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）； 为偶数时，
偶函数；
为奇数时，
为奇函数；
为负整数时，幂函数的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞）.
（α是常数）的图形：
幂函数
（二）指数函数 函数 函数时是单调减函数.
（a＞0，a≠1）称为以a为底的指数函数，常用的是以无理数e为底的指数函数.
（a＞0，a≠1）的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞），当a＞1时是单调增函数，当0＜a＜1
图1给出了底数a分别取2，3， 函数
的图形.
和时
指数函数的一些基本运算规则：
（三）对数函数： 1.当a＞0且a≠1时，函数
的反函数称为以a为底的对数函数，记作，其定义域是（0，＋∞），
值域是（－∞，＋∞）.
常见的对数函数： 常用对数y＝lgx， 自然对数y＝lnx， 当a＞1时，
在定义域内是单调增加的； 当0＜a＜1时，
在定义域内是单调减少的.
2.对数的运算法则：
设a，b，x，y都是大于零的实数，则
.
（四）三角函数
1.常见三角函数关系式 （1）同角公式： 1）倒数关系：sinx·cscx＝1， cosx·secx＝1，tanx·cotx＝1.
2）商的关系： 3）平方关系：
，
，
.
（2）倍角公式： sin2x＝2sinxcosx cos2x＝cos2x－sin2x （3）半角公式（降幂公式）：
2.特殊角的三角函数值
A 0 1 sinA 0