,
,
2.导数的四则运算法则,
3.复合函数求导法则
由外到里，逐层求导并相乘 4.反函数求导法则
函数f，g互为反函数，那么 （13年1月全国考题） 设函数，求dy.
解：
所以
（13年1月全国考题）
设函数
解：
（12年4月全国考题）
设函数，求导数
解：
（12年7月浙江考题） 设函数
, 求y′.
解：
5.隐函数求导法：
6.对数求导法 （1）当函数可以表示成多个因子的积、商，即 （2）幂指函数
（12年10月全国考题） 设函数
求dy.
，
解：取对数
两边求导得
所以
，.
7.分段函数的导数
分界点处需要分别求左、右导数 （12年1月全国考题）
设函数f（x）=则f（x）在点x=0处（ ）
A.左导数存在，右导数不存在 B.左导数不存在，右导数存在 C.左、右导数都存在 D.左、右导数都不存在
解：
所以选C.
（12年4月全国考题）
确定常数a,b的值，使函数在点x=0处可导.
所以b=0.
解：f（0）=b,
所以 a=3,b=0.
8.抽象函数的导数
（12年10月全国考题） 已知函数f（x）可导，且
，求
.
.
解：
9.高阶导数
（1）常见的高阶导数
,
,
.
.
（2）分式函数求高阶导数一般先化为简单分数 （13年7月浙江考题）
设函数,求
解：
，
.
（13年4月全国考题）
设函数y=sin（lnx）+ln（sinx）,求.
解：
.
（13年1月全国考题） 设函数
A.12! B.11! C.10! D.0
答案：D
解析：
，则高阶导数
=
，故=0.
第四章 微分中值定理和导数的应用 一、中值定理
若函数f（x）满足条件：
（1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导，
罗尔定理：（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少有一点
使得
拉格朗日（Lagrange）中值定理：则在（a，b）内至少有一点 （12年1月全国考题）
使得
函数 f （x）=x2+1在区间[1，2]上满足拉格朗日中值公式的中值=（ ）.
A.1 B.
C. D.
【解析】对 f （x）=x2+1在区[1，2]上应用拉格朗日中值定理，则有：
所以，选D.
二、洛必达法则
三、函数单调性的判定
1.设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导. （1）若在（a，b）内 （2）若在（a，b）内
，则f（x）在[a，b]上单调增加. ，则f（x）在[a，b]上单调减少.
注意：（1）如果定理中的[a，b]换成其他各种区间（包括无穷区间），结论仍然成立. （2）如果在（a，b）内
2.判定函数f（x）单调性的步骤： （1）确定函数f（x）的定义域. （2）求
，找出
或
不存在的点，这些点将定义域分成若干小区间.
，且等号仅在个别点处成立，结论仍然成立.
（3）列表，由在各个小区间内的符号确定函数 f（x）的单调性.
3.不等式的证明：（1）做差；（2）求导得到单调性；（3）验证端点的符号. （12年1月全国考题）
2x 证明：当x>0时，e>1+2x.
证明：
（13年4月全国考题）
设函数f（x）在区间[a,b]上可导，且f’（x）<0, f（b）>0,则在[a,b]上f（x）是（ ）
A.恒大于零 B.恒小于零 C.恒等于零 D.有正有负 解：A
四、极值与最值
1.极值的必要条件：设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，则函数f（x）在x0处的导数值为零，即f ’（x0）=0.
2.第一充分条件（一阶导数变号法）
设函数f（x）在点x0的某一邻域（x0－δ，x0+δ）内连续，在去心邻域（x0－δ，x0）∪（x0 ，x0+δ）内可导.
（1）若当x∈（x0－δ，x0）时， （2）若当x∈（x0－δ，x0）时，
；当x∈（x0，x0+δ）时， ,则x0是函数f（x）的极大值点. ；当x∈（x0，x0+δ）时， ,则x0是函数f（x）的极小值点.
（3）若当x∈（x0－δ，x0）∪（x0，x0+δ）时， f’ （x）不变号，则x0不是函数f（x）的极值点. 3.判别函数极值的一般步骤如下： （1）确定函数 f （x）的定义域；
（2）求f’ （x），找出定义域内f’ （x）=0或 f’ （x）不存在的点，这些点将定义域分成若干区间. （3）列表，由f’ （x）在上述点两侧的符号，确定其是否为极值点，是极大值点还是极小值点. （4）求出极值.
4.第二充分条件（二阶导数非零法） 设函数f（x）在点x0处有二阶导数，且
，则函数f（x）在x0处取得极大值. ，则函数f（x）在x0处取得极小值.
（1）若 （2）若
5.求连续函数f（x）在闭区间[a,b]上的最值的步骤如下：
（1）求出f（x）在（a,b）内f’ （x）=0 和f’ （x）不存在的点，记为x1，x2?，xn. （2）计算函数值f（a），f（x1），f（x2）,?,f（xn），f（b）.
（3）函数值f（a），f（x1），f（x2），?，f（xn），f（b）中的最大者为最大值，最小者为最小值. （12年10月全国考题）
求函数的单调区间与极值.
【解析】根据题意，函数的定义域为x∈（0,+∞），又