（12年4月全国考题）
求函数的极值.
2
【解析】f ′（x）= x－4x+3=（x－3）（x－1） 令f ′（x）=0，得x=3,x=1
x<1,f ′（x）>0; 1
所以极大值为f（1）=2，极小值为
.
（12年10月全国考题）
2
函数 f （x）=ln（1+x）在区间[－1,2]上的最小值为 .
【解析】f （x）= ln（1+x2）求导得
令f ′（x）=0,解得x=0，结合区间端点显然最小值 f（0）=0.
（12年4月全国考题）
函数 f （x）=x－arctanx在区间[－1,1]上的最大值是 .
【解析】
在闭区间[－1,1]上f ’（x）≥0,则函数f（x）是增函
数，
则最大值是端点处的函数值：
（12年1月全国考题）
函数f（x）= x－2cos x在区间[0,]上的最小值是________.
【解析】： f（x）=x－2cos x x∈ [0,
]
f ’（x）=1+2sinx>0 f（0）=0－2= － 2
五、凹凸性与拐点
1.凹凸性的判断：设函数f（x）在区间（a,b）内具有二阶导数.
（1）若当x∈（a,b）时 （2）若当x∈（a,b）时
，则曲线y=f（x）在（a,b）内是凹的. ，则曲线y=f（x）在（a,b）内是凸的.
2.拐点的必要条件：若函数f（x）在x0的某个邻域U（x0）内具有二阶导数，且（x0,f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，则
.
3.拐点的第一充分条件（二阶导数变号法） 设函数f（x）在x0的某个邻域内具有二阶导数，且 若 若
.
在x0的左、右两侧异号，则（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点； 在x0的左、右两侧同号，则（x0，f（x0））不是曲线y=f（x）的拐点.
4.判别曲线的凹凸性与拐点的一般步骤如下： （1）确定函数的定义域.
（2）求，并找出和不存在的点，这些点将定义域分为若干个小区间.
（3）列表，由在上述点两侧的符号确定曲线的凹凸性与拐点.
5.拐点的第二充分条件（三阶导数非零法）： 设函数f（x）在点x0的某邻域内三阶可导,
,而
,则点（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐
点.
（12年4月全国考题）
54
曲线y=3x－5x+4x－1的拐点是______.
32
【解析】y〞=60x3－60x2，令y〞=60x－60x=0，则x=0或x=1,由拐点的判定方法可知，在x=1
两侧y〞异号，将x=1代回到原函数中得到y=1，所以拐点是（1,1）.
（12年10月全国考题）
设函数 f（x）在区间I上二阶可导，且，判断曲线在区间I上的凹凸性.
【解析】根据题意可得：
所以y在区间I上是凹函数.
（12年1月全国考题）
确定常数a,b的值，使得点（1,）为曲线
的拐点.
解：
由题意知：
所以当
时,原式成立.
解得：
六、渐近线
1.水平渐近线：
2.铅直渐近线：考虑间断点， （12年10月全国考题） 曲线
的铅直渐近线为________.
，
或
【解析】因为
.
所以x=﹣1是曲线
（12年4月全国考题）
的铅直渐近线.
曲线 A.1 B.2
的渐近线的条数为 （ ）
C.3 D.4
【解析】水平渐近线：
则水平渐近线是 y=0；
铅直渐近线：
铅直渐近线是 x=1.
七、导数在经济学中的应用
1.边际函数：边际成本、边际收益、边际利润
2.弹性：
需求弹性、供给弹性 （12年10月全国考题）
某产品产量为q时总成本
【解析】边际成本的表达式
时的边际成本为________.
所以，q=100时的边际成本为1. （12年4月全国考题）
设某商品的需求函数为Q（p）=12－0.5p（其中p为价格）. （1）求需求价格弹性函数. （2）求最大收益.
【解析】（1）
（2）R（p）=Q（p）·p=12p－0.5p2 R′（p）=12－p，R′（p）=0，p=12 所以最大收益为R（12）=144×0.5=72.
（07年4月考题）
设某商品市场需求量D对价格p的函数关系为，则需求价格弹性是________.
解：
（12年1月全国考题）
设某商品的需求函数为Q=16－4p，则价格p=3时的需求弹性为____. 解答：
第五章 一元函数积分学 一、不定积分
1.原函数：F '（x）=f（x）,则称F（x）是f（x）在I上的一个原函数. 2.不定积分：∫ f（x）dx=F（x）+C（C为任意常数）. 求不定积分与求导互为逆运算：
3.不定积分的计算
（1）公式法：主要是用基本积分公式表中的公式直接计算简单函数的不定积分，基本积分公式是我们计算不定积分的基础，大家必须熟记、熟用这些公式。 基本积分公式有： 1）
2）（a≠-1）
3） 4） 5）
6）
7） 8） 9）
10）
11）
（2）利用不定积分的基本性质： 1）设k是不为零的常数，则
=k2）
2）
（3）换元积分法
第一换元法（凑微分法）：
若
，则在用第一换元积分法求不定积分时，以下的凑微分情形经常遇到：
（2） （3）
（4） （5） （6） （7） （8）
（9）
（10）
第二换元积分法
一般遇到根式就用第二换元积分法. （4）分部积分法
1）积分优先级：指三幂对反
2）有些不定积分要经过两次分部积分，且两次要将同一类函数放到微分号内.