教 师 活 动 例如6(?8)2?3?8. 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. ⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. 二、正数的正分数指数幂的意义 学生活动 学生听课做笔记 思考：为什么M、N为什么要大于1？ amn*?nam (a＞0,m,n∈N,且n＞1) 要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化. 另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. 1.规定： (1)a?mn?1mn (a＞0，m,n∈N*,且n＞1) a(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质. 2.有理指数幂的运算性质: am?an?am?n(m,n?Q)(am)n?amn(m,n?Q)(ab)n?an?bn(n?Q) 说明：若a＞0，P是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 教 师 活 动 小结：（5分钟） 1.根式的概念. 2.根式的运算性质. 3.分数指数幂的意义 4.分数指数幂与根式的互化 5.有理指数幂的运算性质. 课后作业： 课本P14及练习册 板 书 设 计 第一章 数式与方程 第三节 指数与对数的运算一 一、根式的概念 （略） 二、根式的运算性质 （略） 三、分数指数幂的意义 四、分数指数幂与根式的互化 五、有理指数幂的运算性质 学生活动 教学随笔 指数教学可以用代入法求证公式的正确性，这样容易让学生理解。 教案
课题 第一章 数式与方程 第三节 指数与对数的运算二 教理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化 学 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程 目能较熟练地运用法则解决问题 标 教学对数的概念 重对数运算性质 点 教学对数概念的理解 难点 教学2课时 时间 周第十周 次 教具无 准备 教 学 组 织 与 实 施 教 师 活 动 学生活动 引入（10分钟） 1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ 2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 4x?1??1?x抽象出：1. ??＝？，??＝0.125?x=? 2. ?1?8%?=2?x=? ?2??2? 也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？ 新课讲授（65分钟） 一、定义：一般地，如果 a?a?0,a?1?的b次幂等于N, 就是 ab?N， 学生听课做那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 logaN?b，a叫做对数的笔记 底数，N叫做真数 教 师 活 动 例如：42?16 ? log416?2 ; 102?100?log10100?2 学生活动 11 42?2 ?log42? ; 10?2?0.01?log100.01??2 2 二、探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） 学生听课做⑵loga1?0，logaa?1 笔记 ∵对任意 a?0且 a?1, 都有 a0?1 ∴loga1?0 同样易知： logaa?1 ⑶对数恒等式 如果把 ab?N 中的 b写成 logaN, 则有 alogaN?N ⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简 便,N的常用对数log10N简记作lgN 例如：log105简记作lg5 ; log103.5简记作lg3.5. ⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828??为 底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对 数logeN简记作lnN 例如：loge3简记作ln3 ; loge10简记作ln10 （6）底数的取值范围(0,1)?(1,??)；真数的取值范围(0,??) 三、积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有： 学生代入法求证。 loga(MN)?logaM?logaN(1)M loga?logaM?logaN(2) NlogaMn?nlogaM(n?R)(3)证明：①设logaM=p, logaN=q 由对数的定义可以得：M=ap，N=aq 教 师 活 动 ∴MN= apaq=ap?q 学生活动 ∴logaMN=p+q， 即证得logaMN=logaM + logaN ②设logaM=p，logaN=q qp由对数的定义可以得M=a，N=a Map ?q?ap?q ∴Na M ?p?q ∴loga NM ?logaM?logaN 即证得loga N学生思考做③设logaM=P 由对数定义可以得M=ap, 练习 ∴Mn＝anp ∴logaMn=np， 即证得logaMn=nlogaM 说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指 数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义 将指数式化成对数式 ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”?? ②有时逆向运用公式：如log105?log102?log1010?1 ③真数的取值范围必须是(0,??)： log2(?3)(?5)?log2(?3)?log2(?5) 是不成立的 log10(?10)2?2log10(?10)是不成立的 ④对公式容易错误记忆，要特别注意： loga(MN)?logaM?logaN loga(M?N)?logaM?logaN