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∴C点不过y=x﹣1；
若点D过y=x﹣1，则2=m﹣1，m=2， ∴A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；
（2）①∵⊙M以AB为直径， ∴M（3，50），
由于y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点， ∴
，
∴，
2
∴y=ax﹣7ax+10a
（也可得：y=a（x﹣2）（x﹣5）=a（x2﹣7x+10）=ax2﹣7ax+10a） ∴y=a（x﹣）2﹣a；
∴抛物线顶点P（，﹣a）
∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部， ∴＜﹣a＜2，
∴﹣＜a＜﹣．
②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0； ∵AD、BC、CF均为⊙M切线，
∴CF=n+2，DF=2﹣n；在Rt△DCF中， ∵DF2+DC2=CF2；
222∴3+（2﹣n）=（n+2）， ∴n=， ∴F（2，）
∴当PF∥AB时，P点纵坐标为； ∴﹣a=， ∴a=﹣；
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∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x﹣5， 抛物线与y轴的交点为Q（0，﹣5）， 又直线y=x﹣1与y轴交点（0，﹣1）；
∴Q在直线y=x﹣1下方．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理的应用以及点与函数的关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
2
2、（2000?甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右2
侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．
（1）求点M和N的坐标； （2）求系数a的取值范围；
（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。
专题：综合题；压轴题。
2
分析：（1）可根据先求出方程x﹣2x﹣3=0的两根，然后根据M，N的左右位置来确定它们的坐标．
（2）可先用交点式设出抛物线的解析式，由于抛物线过M，N，因此可将抛物线设为y=a（x2﹣2x﹣3），求∠MKN不小于90°时a的取值范围，那么可先求出∠MKN=90°时，a的值．当∠MKN=90°时，可根据射影定理求出OK的长，也就求出了a的值，进而可得出a的取值范围．（要注意的是抛物线开口向下的条件，即a＜0）． （3）当y取最大值时，那么∠NKN必为90°，可根据（2）得出的∠MKN=90°时a的值，进而可求出抛物线的解析式，然后根据三角形MKN的面积求出P点纵坐标的绝对值，再将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标． 解答：解：（1）由题意：x2﹣2x﹣3=0，x=3，x=﹣1
由于N在点M的左侧，因此M，N的坐标分别是M（﹣1，0），N（3，0）
（2）抛物线与x轴交于M（﹣1，0），N（1，0）两点，则y=a（x2﹣2x﹣3）
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抛物线开口向下，则a＜0，令x=0，y=﹣3a＞0，K（0，﹣3a）． 当∠MKN=90°时，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90° ∴∠MKO=∠KNO ∵∠MOK=∠KON=90° ∴△MOK∽△KON ∴MO：KO=KO：ON，∴a2=，a=﹣
≤a＜0；
=
由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范围是﹣
（3）当y取最大值时，a=﹣，因此抛物线的解析式为y=﹣设P点的坐标为（0，h），则有： S△MPN=?MN?|h|=2当h=当h=﹣
时，
=﹣
2
x2+
x+；
，MN=4，因此|h|=x+
x+x2+
，h=±．
：解得x=0或x=2． x+
：解得x=1+或1﹣．
时，﹣=﹣
因此P点的坐标为（0，）、（2，）、（1+，﹣）、（1﹣，﹣）． 点评：本题主要考查了二次函数与二元一次方程的关系以及二次函数的综合应用，（2）中求出∠MKN=90°时a的取值是解题的关键．
3、（2000?内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是
，过A（0，4）
作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C（3，﹣），且抛物线过A、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）可根据C点的坐标，用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入求解即可．
（2）先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，然后可分两种情况讨论： ①当△BCD∽△BPO，那么；②当△BCD∽△PBO，则有； 根据上述两种情况中不同的对应成比例线段可求出不同的符号条件的P点坐标． 解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）﹣， 已知抛物线过A点，则有： a（0﹣3）2﹣=4， 解得a=
此抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣
（2）∵B（2，0）；C（3，﹣）；D（3，0） ∴BD=1，CD=，OB=2 ∵要使△BCD∽△OPB ∴只需即：
或或
2
解得：OP=或4
∴P（0，﹣）或（0，﹣4）．
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故：在y轴的负半轴上是否存在点P（0，﹣）或（0，﹣4），使△BCD∽△OPB． 点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．（2）题要根据相似三角形的对应线段的不同分类进行求解，不要漏解． 4、（2001?哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）根据题意即可得出A、B、C三点的坐标，可通过待定系数法求出抛物线的解析式． （2）本题的关键是求出M点的坐标，可如果设圆M与y轴的另一交点为D，那么可根据相交弦定理求出OD的长，进而可求出M点的纵坐标，同理可求出M的横坐标，得出M的坐标后可用待定系数法求出直线MA的解析式． （3）本题要分情况进行讨论：
①当EF∥CA时，△ABC∽△EBF，可根据两直线平行得出直线EF的斜率与直线AC的相同，然后根据直线EF过M点，即可求出直线EF的解析式，然后联立抛物线即可求出它们的交点P的坐标．
②当∠BFE=∠A时，△ABC∽△FBE，思路同①，可通过构建相似三角形来求E点的坐标以得出直线EF的解析式．可过A作AG⊥BC于G，过M作MH⊥AB于H，那么通过相似三角形AGC和MHE可求出E点的坐标，然后同①的方法进行求解即可． 解答：解：（1）由题意可知：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3） 可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）设y轴于圆M的另一交点为D，根据相交弦定理可得出OD=OA?OB÷OC=1 由此可求得M点的纵坐标为1 同理可求出M点的横坐标为1 ∴M的坐标为（1，1） 设过A、M点的直线解析式为y=kx+b，有 k+b=1，﹣k+b=0 ∴k=，b=
直线解析式为：y=x+
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