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∴存在符合条件的C点，坐标为（4，﹣）．
点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用、函数图象交点以及等腰三角形的判定等知识点．
9、（2002?贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣），且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质。 专题：综合题；压轴题。 分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴方程，结合AB的长度即可求出A、B的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式易求得D点坐标，可将四边形DACB的面积分成△DAB和△ABC两部分来求；
（3）此题可通过构建相似三角形求解，过P作PF⊥x轴于F，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，若∠PAC被x轴平分，那么△APF∽△ACE，根据相似三角形所得到的比例线段即可求出P点的坐标． 解答：解：
（1）根据题意，得：OE=4，AE=BE=3 ∴OA=1，OB=7即A（1，0）、B（7，0） 设y=a（x﹣1）（x﹣7） ∵x=4，y=﹣
，∴a=
）
所求解析式为y=（x﹣1）（x﹣7）（或y=（2） 连接DA、AC、BC、DB 当x=0时，y=
，∴D（0，
）
∴S四边形DACB=S△DAB+S△ACB== （3）假设存在点P（x，y），使x轴平分∠PAC，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F 则△APF∽△ACE ∴
，即：
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3（）=∴x2﹣11x+10=0，x1=10，x2=1 当x=10时，y=
当x=1时，y=0（不合题意，舍去） ∴P（10，3
）．
点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及相似三角形的判定和性质．
2
10、（2002?广西）已知抛物线y=﹣x+2mx+4． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；
（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。
分析：（1）将二次函数的各系数代入顶点坐标公式（﹣，
）解答；
（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，0）（x2，0），根据函数与方程的关系，将+=转化为一元二次方程根与系数的关系解答；
（3）假设P点存在，设出P点坐标的参数表达式，根据勾股定理解出P点坐标，则可证明存在点P． 2
解答：解：（1）根据二次函数的顶点坐标公式，抛物线的顶点坐标为（m，4+m）． （2）设A、B两点坐标为（x1，0）（x2，0）， 因为所以
++
=， =，
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配方得
=，
=，根据根与系数的关系，=，则
解得m=0，
则函数解析式为y=﹣x2+4； 则其顶点坐标为（0，4），与x轴交点为（﹣2，0），（2，0）．如图所示
（3） 设P（x，﹣x2+4）， 又因为A（﹣2，0），B（2，0），根据勾股定理（两点间距离公式）
222
（x+2）+（4﹣x）+（x﹣2）2+（4﹣x2）=42， 解得x=±
或x=±2（与A、B重合，不能构成三角形，舍去）．
P点坐标为（±，0）．
点评：此题重点考查了一元二次方程和二次函数之间的关系．通过将二次函数转化为一元二次方程，可以根据根与系数的关系解题，尤其注意（3）为开放性题目，需要进行猜想和证明． 11、（2002?内江）如图，一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC
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三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x）+2bx+c（1+x）=0有两个相等实数根，且a=b；
（1）试判定，△ABC的形状；
（2）当时求此抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。
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专题：综合题。 分析：（1）可将题中给出的方程进行整理，已知了方程有两个相同的实数根，那么方程的△=0，然后联立a=b，即可判断出三角形ABC的形状．
（2）可先根据直线AQ的解析式求出A、Q的坐标，进而可求出线段AQ的长，根据AB、AQ的比例关系式，可求出AB的长，即可得出B点坐标，然后根据已知的A、B、Q的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出四边形ACBQ的面积，然后根据三角形ABP和四边形ACBQ面积相等，即可得出三角形ABP的面积，AB长为定值，可求出P点纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点坐标． 解答：解：（1）方程整理得（c﹣a）x2+2bx+（c+a）=0； 由方程有两个相等的实数根 得△=0
即
即△ABC为等腰直角三角形．
（2）在y=﹣x+3中，令x=0，则y=3；令y=0，则x=3； ∴A（3，0），Q（0，3）； 设B点坐标为（x，0）； ∴AB=3﹣x
在Rt△AOQ中，AQ=∵
，
=3
，
∴， 解之得：x=1， ∴B（1，0），
∵抛物线过A、B、Q三点，则有：
，
解得
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．
（3）假设抛物线上有点P，坐标为（x，y）； ∴S△ABP=×AB×|y|=|y|； S四边形ACBQ=S△ABC+S△ABQ
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=×2×1+×2×3=4
由S△ABP=S四边形ACBQ，得|y|=4； ∴y=±4；
当y=4时，x2﹣4x+3=4；解得x=2+，x=2﹣；
2
当y=﹣4时，x﹣4x+3=﹣4，△＜0，方程无解．
∴抛物线上存在点P的，其坐标为（2+，4）或（2﹣，4）．
点评：本题考查了等腰直角三角形的判定、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识． 12、（2002?泸州）已知：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．
（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。
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分析：（1）根据韦达定理可得出A、B两点横坐标的和与积，联立x1+x2=10，可求出m的值，进而可求出A、B的坐标．
（2）根据A、B的坐标，可得出抛物线的对称轴的解析式，即可求出其顶点M的坐标，根据得出的A、B、M三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）可先求出四边形ACMB的面积（由于四边形ACMB不规则，因此其面积可用分割法进行求解）．然后根据ACMB的面求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
2解答：解：（1）由题意得：x1+x2=2（m﹣1），x1x2=m﹣7． ∴x12+x22=（x1+x2）﹣2x1x2=（m﹣1）2﹣2（m2﹣7）=10 化简，得m2﹣4m+4=0，m=2．
且当m=2时，△=4﹣4×（﹣3）＞0，符合题意． ∴原方程可写成：x2﹣2x﹣3=0 ∵x1＜x2， ∴x1=﹣1，x2=3； ∴A（﹣1，0），B（3，0）． （2）已知：A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）． 设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），则有： ﹣4=a（1+1）（1﹣3），a=1；
2
∴y=（x﹣3）（x+1）=x﹣2x﹣3． （3）S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA?OC+（OC+MN）?ON+NB?MN
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