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∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小
∴点A关于对称轴x=﹣2的对称点是B（﹣3，0）
∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=﹣2的交点 设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n
∴，
解得
∴直线BE的解析式为y=﹣x+ ∴把x=﹣2代入上式，得y= ∴点P坐标为（﹣2，）
2
②设点E在抛物线y=﹣x﹣4x﹣3上 ∴y0=﹣x02﹣4x0﹣3，
解方程组
消去y0，得∴△＜0
∴此方程无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，），使△APE的周长最小．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图象面积的求法等知识点．综合性强，难度较大． 19、（2002?浙江）已知抛物线过A（﹣2，0）、B （1，0）、C（0，2）三点， （1）求这条抛物线的解析式；
（2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式． （2）由于点A在x轴上，若∠AOP=45°，那么P点必在第二或第三象限的角平分线上，即P点的横、纵坐标的绝对值相同，可据此设出点P的坐标，然后代入抛物线的解析式中进行求解即可．
解答：解：（1）∵抛物线过点A（﹣2，0），B（1，0）， ∴可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣1）， 把点C（0，2）代入上式得a=﹣1， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）存在．设P点坐标为（m，n）， ∵∠AOP=45°，A（﹣2，0）， ∴m＜0，且n=m或n=﹣m， 当m=﹣m2﹣m+2；
解得m1=﹣1+（舍去），m2=﹣1﹣当﹣m=﹣m2﹣m+2； 解得m1=
（舍去），m2=﹣
；
，
∴存在符合题意的点P，其坐标为P（﹣1﹣，﹣1﹣）或P（﹣）．
点评：此题主要考查的是用待定系数法确定二次函数解析式的方法以及函数图象上点的坐标意义等知识，属于基础知识，难度不大． 20、（2002?浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，
（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；
（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）根据C点坐标，可确定m的值，从而得到抛物线的解析式，令函数解析式的y=0，即可求得A、B的坐标．
（2）根据函数图象可知，显然∠PAQ不能是直角，已知以A，P，Q三点为顶点的三角形与△
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AOC相似但不全等，因此P、C不重合，即∠PAQ≠∠CAO，所以只考虑∠PAQ=∠ACO的情况，过A作∠PAQ=∠ACQ，交抛物线于点P，然后分两种情况：
①∠PQA=∠COA=90°，此时PQ⊥x轴，可设出点Q的坐标，根据抛物线的解析式可表示出点P的坐标，进而根据相似三角形的比例线段求出点Q、P的坐标；
②∠APQ=∠COA=90°，设出点Q的坐标，然后表示出PA的长，根据相似三角形的比例线段即可求出此时点Q的坐标．
2
解答：解：（1）根据题意，把点C（0，3）代入y=﹣x+2x+m， 解得m=3，
2
即二次根式的解析式为y=﹣x+2x+3， 即﹣x2+2x+3=0， 解得x1=﹣1，x2=3，
∴点A，点B的坐标分别是（﹣1，0），（3，0）．
（2）假设存在符合题意的点P、Q，一定是∠PAQ=∠ACO； ∵若PAQ=∠CAO，则点P与点C重合， 点Q与点O重合，
∴△PAQ≌△CAO，不合题意；
∵若∠PAQ=∠COA=90°，显然P不在抛物线上， 过A作AP，使∠PAO=∠ACO且与抛物线交于点P， ①若过点P作PQ1⊥x轴交x轴于Q1点， 设Q1（x1，0），P（x1，y1），
∵∠CQ1A=∠AOC，则△PQ1A∽△AOC， ∴即
，
， 解得x1=，代入抛物线的解析式中， 得y1=
，
∴Q1（，P（，存在△PQ1A∽△AOC； ②由①所得点P作PQ2⊥AP交x轴于Q2， 设Q2（x2，0）；
∵∠APQ2∠COA，则△Q2PA∽△AOC，
∴∴Q2（
，=，．
，0），存在△PQ2A∽△AOC；
，Q2（
，0），P
综上所述，存在符合条件的相似三角形，且Q、P的坐标为：Q1（
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（．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、相似三角形的判定和性质等知识．（3）题中，应根据相似三角形的不同对应顶点分类讨论，这是此题的难点． 21、（2002?漳州）已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4． （1）求b、c的值（用含m的代数式表示）；
2
（2）设抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使得PC=PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）已知了方程的两根，用韦达定理即可求出b、c的值．
（2）已知了D点的坐标即可求出OD的长，也就能求出AD、BD的长，然后根据AD?BD=10可得出m的值．进而可求出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式即可得出其与y轴的交点． （3）如果PC=DP，那么P点必在线段CD的垂直平分线上，设这条垂直平分线为l，那么P点必为直线l与抛物线的交点，由此可求出P点的坐标． 解答：解：（1）一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4； ∴m+4=b，4m=﹣c， ∴b=m+4，c=﹣4m．
（2）由（1）知抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴两个交点的坐标为（m，0）（4，0）； ∵AD?BD=10， ∴?∵0＜m＜4，
=10
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∴m=1
2
∴y=﹣x+5x﹣4． 令x=0， ∴y=﹣4
∴C（0，﹣4）．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x﹣4，点C的坐标（0，﹣4）． （3）要使得PC=PD，P点必在CD的垂直平分线l上； ∴直线l是y=﹣3
由，
解得，
∴抛物线上存在P点，使得PC=PD，且P点坐标为（，﹣3）或（，﹣3）． 点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、二次函数解析式的确定、函数图象交点等知识．
22、（2003?长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+（+k）k，k为实数． （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；
（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；
（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式．
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）根据抛物线对称轴和顶点的公式即可得出本题的结论． （2）根据（1）得出的顶点坐标（k，
k），可得出无论k取什么值，横坐标和纵坐标的比例
关系是不变的，因此抛物线的顶点在正比例函数的图象上，且斜率为．
（3）不难得出OA：OB正好是两圆的半径比，因此可通过求两圆半径的比例关系来求OA，OB的比例关系，如图，过O1作O2B的垂线，那么O2H就是两圆的半径差，O1O2是两圆的半径和，可根据∠O2O1H的度数求出两圆的半径的比例关系，即可得出OA，OB的比例关系．
（4）由于直线L1截的线段都相等，因此它必与（2）中求出的正比例的解析式平行，即斜率相等，要求直线L1的解析式，需知道抛物线与y轴的交点坐标即b的值．为了简便，可设直线L1
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