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的长；
AE长的另一种表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的长表示出AE，然后联立两个AE的表达式即可求出k的值．进而可求出直线的解析式和抛物线的解析式． （2）已知了C点坐标，关键是确定抛物线的二次项系数和一次项系数．可用韦达定理来求解．已知了三角形ABC的外接圆（设圆心为P）截y轴的弦长为5，那么OD=1，根据相交弦定理可求出OA?OB的值，即可得出韦达定理中两根积的值，即可求出二次项系数的值．连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F．
根据垂径定理和圆周角定理不难得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，据此可求出AE和AB的长，即可得出A、B横坐标差的绝对值，由此可求出一次项系数的值，即可确定抛物线的解析式． 解答：解：（1）易知：A（，0）， 因此OA=，OB=
，B（﹣
，0），
∴AB=，
过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，在直角三角形ADE中， AE==．
根据直线AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k， 因此AE=
=
，即：
=
解得k=（负值舍去）．
， ∴直线的解析式为y=x﹣4． ∴A（3，0），B（1，0）
设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x+1）， 由于抛物线过C（0，﹣4）， 则有：a（0﹣3）（0+1）=﹣4，a=，
∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣4．
（2）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx﹣4．
设△ABC的外接圆圆心为P，连AP、BP，过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F． ∵圆P截y轴所得弦长为5，且过点A、B及C（0，﹣4）．
2
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∴圆P过点D（0，1∴P点在x轴下方，
∴CF=DF=，PE=OF=4﹣=． ∵∠APE=∠APB=∠ACB， ∴tan∠APE==tan∠ACB=2， ∴AE=2PE=3， ∴AB=2AE=6，
∵OA?OB=OC?OD，即﹣x1x2=4．
∴=4，a=1．
∴抛物线的解析式为y=x2+bx﹣4． ∵AB=6， ∴x1﹣x2=6．
∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=b2+16=36． ∴b=±2
．
2）
∴存在这样的抛物线y=x±2x﹣4．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，综合考查了一次函数的应用、三角形的外接圆等知识点，综合性强，难度较大．
17、（2002?乌鲁木齐）已知抛物线y=x2﹣x+2． （1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；
（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；
（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．
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考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的对称轴方程和顶点坐标． （2）可通过构建相似三角形将
和
进行适当转换，分别过A、P、B作x轴的垂线，设垂足为A′、P′、B′；那么和就可转换成P、A的横坐标比以及P、B的横坐标比．由于A、B、P均为函数的交点，因此可联立相关函数，根据韦达定理进行求解．
（3）可根据直线y=kx的解析式，用A、B的横坐标表示出各自的纵坐标，然后根据韦达定理和两点的纵坐标和为4求出k的值，由于两函数有两个不同的交点，因此两函数联立的方程△＞0，可得出一个k的取值范围，然后根据这个范围判定k的值是否符合要求即可． 解答：解：（1）抛物线y=x﹣x+2=（x﹣1）+， 所以抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，） 2
2
（2）由，
2
得x﹣2（k+1）x+4=0． 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则 x1+x2=2（k+1），x1x2=4；
由得x=（k＞0）．
，
即P点的横坐标xP=；
作AA′⊥x轴于A′，PP′⊥x轴于P′，BB′⊥x轴于B′，于是： +
=
+
=
=
=
?
=2．
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（3）不存在． 因为A（x1，y1）、B（x2、y2）在直线y=kx上，由题意，得 y1+y2=kx1+kx2=k（x1+x2）=k?2（k+1）=4； 所以k2+k﹣2=0．
解得k=1，k=﹣2（舍去）
当k=1时，方程x2﹣2（k+1）x+4=0可化为x2﹣4x+4=0有两个相等的实数根，不同题意舍去 故适合条件的k值不存在．
点评：本题主要考查了函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系、函数图象交点等知识． 18、（2003?北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0） （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）根据抛物线的解析式可知：抛物线的对称轴为x=﹣2，由此可求出B点的坐标． （2）可将A点坐标代入抛物线的解析式中，求出a与t的关系式，然后将抛物线中的t用a替换掉，根据这个抛物线的解析式可表示出C点的坐标，然后根据梯形的面积求出a的值，即可得出抛物线的解析式．
（3）可根据E点横坐标与纵坐标的比例关系以及所处的象限设出E点的坐标，然后将它代入抛物线的解析式中即可求出E点的坐标．要使PA+EP最小，根据轴对称图象的性质和两点间线段最短可知：如果去A关于抛物线对称轴的对称点B，连接BE，那么BE与抛物线对称轴的交点就是P点的位置，可先求出直线BE的解析式然后联立抛物线的对称轴方程即可求出P的坐标． 解答：解：（1）依题意，抛物线的对称轴为x=﹣2， ∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣1，0），
∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0）． （2）∵抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0） ∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t=0
∴t=3a
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∴y=ax2+4ax+3a ∴D（0，3a）
∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax2+4ax+3a上， ∵C（﹣4，3a） ∴AB=2，CD=4
∵梯形ABCD的面积为9 ∴（AB+CD）?OD=9
∴（2+4）|3a|=912（AB+CD）?OD=9
∴a±1
∴所求抛物线的解析式为y=x2+4x+3或y=﹣x2﹣4ax﹣3． （3）设点E坐标为（x0，y0）， 依题意，x0＜0，y0＜0，且∴y0=﹣x0
∴y0=x02+4x0+3 ①设点E在抛物线y=x+4x+3上，
2
解方程组
得， ∵点E与点A在对称轴x=﹣2的同侧
∴点E坐标为（，）．
设在抛物线的对称轴x=﹣2上存在一点P，使△APE的周长最小． ∵AE长为定值，
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