江夏区第一初级中学教学资料
（3）在（1）中的抛物线上存在点P
使△BEF与△ABC相似．
①若△BEF∽△ABC，则EF∥AC ∵直线AC为：y=3x+3
∴设直线EF为：y=3x+b1过m（1，1） ∴直线EF为：y=3x﹣2
2
点P的坐标满足y=3x﹣2，y=﹣x+2x+3 解之x1=﹣+y1=﹣+
，x2=﹣﹣，y2=﹣﹣
，﹣﹣）
所以P1（﹣+，﹣+），P2（﹣﹣②若△BEF∽△ABC，则∠ACB=∠MEH 过点A做AG⊥BC于G，有∠AGC=∠MEH ∴△ACG∽△MEH 其中AC=
，CG=
，AG=2
：
，MH=1 =1：HE ∵AG：CG=MH：HE，即2
∴HE=，E的坐标为（，0） 直线EM解析式为：y=2x﹣1 同理可得：P3（2，3），P4（﹣2，﹣5）
综上所述：P1（﹣+，﹣+），P2（﹣﹣，﹣﹣），P3（2，3），P4（﹣2，﹣5）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质等重要知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
2
5、（2001?山东）已知，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）过点P（1，﹣2）、Q（﹣1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC． （1）求a与c的关系式；
（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）是否存在满足条件tan∠CAB?cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
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考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式中，将b消去即可得出a，c的关系式．
（2）本题可先将所给的等式进行适当变形，然后设出A、B的横坐标，用韦达定理求出待定系数的值，即可求出抛物线的解析式．
（3）根据已知的条件可知：∠CAB=∠CBA，此时OA=OB，那么抛物线关于y轴对称，此时对称轴x=0，据此可求出抛物线的解析式． 解答：解：（1）将P、Q的坐标代入抛物线的解析式可得：
，
解得b=﹣2，a=﹣c．
2
（2）由①知y=ax﹣2x﹣a，设A（x1，0），B（x2，0）． 令y=0，ax2﹣2x﹣a=0；
x1+x2=，x1x2=﹣1，
∴A在x负半轴上，B在x正半轴上 ∴OA=﹣x1，OB=x2
=
=
===
∴4=
2
即a=3， ∴a=±
，
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣或y=﹣x2﹣2x+（3）∵tan∠CAB?cot∠CBA=1， ∴OA=OB，
由于A、B分别在原点两侧，
因此A、B关于原点对称，即抛物线的对称轴为y轴，
．
∴x==0，显然不成立， 因此不存在这样的抛物线．
点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系等知识． 6、（2001?温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k
（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；
（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，
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试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：综合题。 分析：（1）抛物线与x轴只有一个交点，也就是说当y=0时，得出的关于x的二元一次方程只有一个解，即△=0，可据此求出k的值． （2）要分两种情况进行讨论：
①当∠CAO=∠BCO时，那么∠ACB=90°，根据射影定理可得出OC2=OA?OB、OC是C的纵坐标的绝对值，而OA、OB分别是（1）中方程的两个根的绝对值，那么可据此求出k的取值． ②当∠ACO=∠BCO时，此时三角形AOC与BOC全等，那么对称轴就是x=0，据此可求出k的值． 解答：解（1）由题意可知；当y=0时，方程x2﹣（k+1）x+k=0，只有一个解， 即：△=（k+1）2﹣4k=（k﹣1）2=0， ∴k=1，
即：当k=1时，抛物线与x轴只有一个公共点．
（2）分两种情况进行讨论： ①当∠CAO=∠BCO时．
=，
即CO2=AO?BO，
由于CO=k，AO?BO=﹣k， k2=﹣k，k（k+1）=0， ∴k=0，k=﹣1．
当k=0时，C点与B点或A点重合， 因此不合题意舍去． ②当∠ACO=∠BCO时，
∵∠AOC=∠BOC=90°，OC=OC，
因此△AOC≌△BOC，那么y轴就是抛物线的对称轴，
即=0，k=﹣1． 综上所述，当k=﹣1时，△AOC与△COB相似．
点评：本题主要考查了二次函数与二元一次方程的关系，根据根与系数的关系来求解是本题的基本思路．注意（2）中要分类进行讨论．
7、（2001?无锡）已知直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点
2
的抛物线y=ax+bx+c的顶点为D，
（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；
（2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。
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分析：（1）根据直线解析式求出C、E两点坐标，再求出定点D坐标，根据△CDE恰为等边三角形的条件便可求出b的值；
（2）先求出A点坐标，将A点坐标代入抛物线的解析式，求出m值，然后检验便可知道不存在m使得∠AEC=90°． 解答：解：（1）直线y=﹣当y=0时，x=∴C（
x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，
m，当x=0时，y=m，
m，0）E（0，m）
∴CE==2m．
2
由题意抛物线y=ax+bx+c过E点可得：m=c， 抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣
，
）， m，2m）， 由△CDE恰为等边三角形可知D点坐标为（
∴解得a=﹣
，b=
；
（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+m，
A（x1，0）为抛物线交与x 轴的交点，且使∠AEC=90°， 故A点坐标为A（﹣
m，0），
x2+
x+m，
将A点坐标代入抛物线解析式为y=﹣
2
可得0=﹣（﹣）+（﹣）+m，
解得m=0，不符合题意， 故不存在m使得∠AEC=90°．
点评：本题是二次函数的综合题，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题． 8、（2002?鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣
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（x2，0）（xl＜x2），且x1+x2=34．
与x轴的两个交点的坐标为A（x1，0），B
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（1）求m，x1，x2的值；
（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）本题要根据韦达定理来求解，先表示出x1+x2和x1?x2的值，然后代入x12+x22=34中即可求出m的值，进而可求出x1，x2的值．
（2）如果△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形，那么∠CBA=30°，即直线BC的斜率为，据此可求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出C点的坐标，然后判断AC是否等于BC或AB是否等于BC即可．
解答：解：（1）令y=0，则有：0=mx2﹣2mx+4m﹣∴x1+x2=8，x1?x2=
2
2
2
；
=34
∴x1+x2=（x1+x2）﹣2x1x2=64﹣2×解得m=∴y=
2
x+5
x2﹣
∴x﹣x+5=0， 解得x1=3，x2=5
（2）假设存在符合条件的C点，那么∠CBA=30°， 设直线BC的解析式为y=kx+b， 则k=tan30°=
，已知B（5，0）
∴y=x﹣
联立抛物线的解析式有：
解得：，
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