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=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．
假设存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四边形ACMB=18， 即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18， ∴y0=±9；
当y0=9时，x2﹣2x﹣3=9，解得x=1﹣，x=1+
2
当y0=﹣9时，x﹣2x﹣3=﹣9，此方程无实数根． ∴存在符合条件的P点，且坐标为（1﹣
；
，9），（1+，9）．
点评：主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 13、（2002?青海）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点． （1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；
（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．
S△OCB？若存
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）分别将A、B的坐标代入两个函数中，联立这四个式子可求得两函数的解析式． （2）可根据抛物线的解析式设出D点的坐标（设横坐标，用抛物线的解析式表示纵坐标），然
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后根据题中给出关于面积的等量关系，可求得D点的横坐标，进而可求出D的坐标．
（另一种解法，根据等底三角形面积比等于高的比，可求出D点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得D的坐标．）
解答：解：（1）由题意得：，
解得
所求一次函数、二次函数的解析式分别为：y=﹣x+4；y=﹣2x2+5x． （2）依题意，
有：|OC|?（﹣2x2+5x）=|OC|×2×即x2﹣x+
=0．
，
解得x1=，x2=， 代入y=﹣2x2+5x中 得：y1=，y2=．
满足条件的D存在，坐标为D（，）或（，）．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定以及函数图象交点等知识．
14、（2002?山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．
（1）证明：△OAB为等边三角形；
（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。
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分析：（1）根据直线OA的斜率不难得到∠AOB=60°，根据抛物线的对称性可知AB=OA，由此得证．
（2）由于抛物线的开口方向不确定，因此分a＞0和a＜0两种情况求解．以a＜0为例说明： 可设三角形AOB的内心为I，过A作AC⊥OB，则I必在AC上，连接IO，在构建的直角三角形IOC中，∠IOC=30°，已知了IC=1，即可求出OC和IO的长，也就能求出B点和A点的坐标，然后将这两点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（a＞0时，解法完全相同）．
（3）如果△POB是直角三角形，那么如果过P作x轴的垂线，根据射影定理即可得出P点纵坐标绝对值的平方等于P点横坐标绝对值和P、B两点横坐标差的绝对值的乘积．然后联立抛物线的解析式即可求出P点坐标． 解答：解：（1）作AC⊥OB于点C； ∵点A在直线y=
x上，设A（x，
x）．
在直角三角形OAC中，tan∠AOC===， ∴∠AOC=60°
由抛物线的对称性可知：OA=AB， ∴△AOB为等边三角形．
（2）解：当a＜0时，设△AOB的内心为I，则∠IOC=30°，在直角三角形IOC中， ∵IC=1，OC=
．
=
，
∴抛物线的对称轴x=﹣∴a=﹣1，b=2
．
∴抛物线的解析式为y=﹣x+2
2
x．
x．
当a＞0时，同法可求，另一条抛物线的解析式为y=x2+2
（3）易知：抛物线与x轴的两交点为O（0，0），B（﹣，0）． 且顶点A（﹣∴﹣=
，﹣）， ）在直线y=
x上，
（﹣
解得b=2∴B（﹣
，b=0（舍去）． ，0）
x．
抛物线的解析式为y=ax2+2
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假设存在符合条件的点P（m，n）．
过点P做PD⊥OB于D，则根据射影定理有： PD2=OD?BD； 由题意知：y=ax2+2
x，
∴，
解得：，
，
∴存在符合条件的P点，且坐标为：P（，﹣）或（，﹣）．．
点评：本题是二次函数综合题，考查了等边三角形的判定、二次函数解析式的确定、三角形内心等知识点．综合性强，难度较大．
15、（2002?武汉）已知抛物线交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），
2交y轴于C点，且x1＜0＜x2，（AO+OB）=12CO+1． （1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：综合题。
2
分析：（1）可根据（AO+OB）=12CO+1以及一元二次方程根与系数的关系来求出m的值，进而可确定出抛物线的解析式；
（2）本题的关键是找出∠APB为直角时，P点的位置，根据（1）的抛物线不难得出A，B，C三点的坐标为（﹣1，0）（4，0） （0，﹣2）．如果∠APB为直角，那么点P必为以AB为直径的圆与抛物线的交点．据此可判断出∠APB时，P点横坐标的范围．
解答：解：（1）抛物线y=x﹣mx﹣2m交x轴于A（a，0）和B（b，0）， 所以a+b=3m，a?b=﹣4m，
∵抛物线开口向上，与X轴有两个交点，
∴C点在Y轴下半轴上，所以点C（0，﹣2m），﹣2m＜0，所以m＞0， AO+OB=|a﹣b|，OC=|﹣2m|=2m，
所以（AO+OB）2=（a﹣b）2=（a+b）﹣4ab=9m2+16m， 12OC+1=24m+1，
2
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江夏区第一初级中学教学资料 ∴9m2+16m=24m+1， 9m2﹣8m﹣1=0，
m=1或m=﹣＜0，舍去， ∴m=1，
即抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）易知：A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，﹣2）， 连接AC，BC，AC=，BC=2，AB=5， ∴AC2+BC2=AB2， ∴∠ACB=90°，
设C关于抛物线对称轴的对称点为C′， 那么C′坐标为（3，﹣2），
根据抛物线的对称性可知：如果连接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°， 因此如果以AB为直径作圆，那么此圆必过C，C′，
根据圆周角定理可知：x轴下方的半圆上任意一点和A、B组成的三角形都是直角三角形， 如果设P点横坐标为x，那么必有当0＜x＜3时，∠APB为锐角， 当﹣1＜x＜0或3＜x＜4时，∠APB为钝角．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定等知识点．要注意的是（2）中结合圆周角的相关知识来理解问题可使问题简化． 16、（2002?无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．
（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式． （2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题。 专题：压轴题。 分析：（1）本题可通过构建直角三角形求解，过B作BE⊥AC于E，交y轴于D，可根据直线的解析式用k表示出OA、OB的长，即可得出AB的长，已知了BE的长度，可用勾股定理求出AE
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