23. 解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠ECD． 又∠FAE=∠EDC=90°．EF=EC ∴Rt△AEF≌Rt△DCE． AE=CD． AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32 cm，
∴2（AE+AE+4）=32． 解得， AE=6 （cm）． 24. （1）AD是△ABC的中线
理由如下：∵ＢＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０° 又∵ＢＥ＝ＣＦ，∠ＢＤＥ＝∠ＣＦＤ ∴△ＢＤＥ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ） （２）ＡＢ＝ＡＣ或∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ或ＡＤ⊥ＢＣ或ＡＤ平分∠ＢＡＣ 25. 【答案】解：?∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.
?①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的
交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由?知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据―两点之间线段最短‖，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ?过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中， ∵EF2＋FC2＝EC2，
x，EF＝.
∴（
）2＋（x＋x）2＝
.
解得，x＝（舍去负值）.
.
∴正方形的边长为
26. （1）①垂直 相等
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立． 由正方形ADEF，得AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC． 又AB=AC，∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC．
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD． （2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图1）． 理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG． 可证：△GAD≌△CAF． ∴∠ACF=∠AGD=45°． ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．
（3）当具备∠BCA=45°时，过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q（如图2）． ∵DE与CF交于点P时，∴此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4． 设CD=x，∴DQ=4-x． 容易说明△AQD∽△DCP，
∴，∴，
∴CP=-+x=-（x-2）+1．
2
∵0 ∴当x=2时，CP有最大值1． 11.四边形参考答案 一、1.D 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.B 8.B 9.A 10.A 11.C 12.C 13.5 14.3 15.50 16. 17.5.1 18. 19.5 20①②③ 三 21．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形． ∴AB DC，∴∠1=∠2，∠3=∠4． 又∵BE=CE，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF． （2）当AF=BC时，四边形ABFC是矩形． 由（1）知AE=EF． 又∵BE=CE，∴四边形ABFC是平行四边形． 当AF=BC时，根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边形ABFC是矩形． 22．（1）证明：在 ABCD中，∠A=∠C，AD=CB． ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴AE=CF． 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB．（SAS） （2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形． 证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD是直角三角形且∠ADB=90°． ∵E是AB的中点，∴DE=AB=BE． 由题知EB∥DF且EB=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴四边形BFDE是菱形． 23. 解析 相等且互相垂直． ∵ABCD是正方形．∴AB=AD=DC，∠BAE=∠D=90°． ∵DE=CF，∴AE=CF，∴△BAE≌△ADF，∴AF=BE，∠1=∠3． 又∵∠1+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOA=90°．即AF⊥BE． 24.（1）证明：当∠AOF＝ 时，AB∥EF 又∵AF∥BE ∴四边形ABEF为平行四边形 (2)证△AOF≌△COE 得AF=CE (3)四边形BEDF可以是菱形 理由：易得四边形BEDF是平行四边形 ∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形 在Rt△ABC中，AC=∴∠AOF= =2 ∴OA=1=AB, ∴∠AOB= 即AC绕点O顺时针旋转时，四边形BEDF为菱形 25．解：（1）36 （2） （3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，有两种情况： ①如图1，当PQ⊥BC时，设P点离开D点x秒． 作DE⊥BC于点E，则PQ∥DE， ∴，∴，∴x=． 当PQ⊥BC时，P点离开D点点秒． ②如图2，当QP⊥CD时，设P点离开D点，作DE⊥BC于点E． ∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C， ∴△QPC∽△DEC， ∴，∴，∴x=． ∴当①②知，当P，Q，C三点构成直角三角形时点P离开点D秒或秒． 26．解：（1）∵PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形． 而PD=24-t，CQ=3t， ∴24-t=3t，解得t=6． 当t=6时，四边形PQCD是平行四边形． （2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC-AD=2cm． 当CQ-PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形． 即3t-（24-t）=4．∴t=7．毛 12.相似图形参考答案 一、选择题 1-10. ABCCB CBCBC 11-12 BC 二、填空题 13. 3 14. 15． 16．（2，）或（-2，-） 17：在同一时刻，物长与影长成正比，从而有BC﹕AC＝EF﹕DF，在由AC＝0.5米，DF＝15米，BC＝1.6米，可求得大楼的高度4.8. 18. （4，6） 19. 3.3 20. 三、解答题 21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AB∥CD， ∴∠ABF=∠CEB， ∴△ABF∽△CEB． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF． ∵DE=CD， ∴， ∵S△DEF=2． ∴S△CEB =18，S△ABF =8， ∴S四边形BCDF=S△BCE -S△DEF =16， ∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF =16+8=24． 22.?证两角对应相等；?证两边对应成比例且夹角相等。 23. 24．（1）证明：∵弦CD垂直于直径AB． ∴BC=BD，∴∠C=∠D． 又∵EC=EB．