∴结论④正确．
∴正确的结论有4个：①②③④． 故选：D． 【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．
（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 5．（2015?黄冈中学自主招生）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．非等腰三角形 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，则∠BCE=∠ACD，从而根据SAS证明△BCE≌△ACD，得∠CBE=∠CAD，BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP=AM，根据SAS证明△BCP≌△ACM，得PC=MC，∠BCP=∠ACM，则∠PCM=∠ACB=60°，从而证明该三角形是等边三角形． 【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°． ∴∠BCE=∠ACD． ∴△BCE≌△ACD．
∴∠CBE=∠CAD，BE=AD．
又点P与点M分别是线段BE和AD的中点， ∴BP=AM．
∴△BCP≌△ACM．
∴PC=MC，∠BCP=∠ACM． ∴∠PCM=∠ACB=60°． ∴△CPM是等边三角形． 故选：C． 【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质． 6．（2015?深圳模拟）如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
第11页（共33页）
A．
B．
C．
D．不能确定
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三
角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°， ∴△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ，
在△PFD和△QCD中
，
∴△PFD≌△QCD， ∴FD=CD， ∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=3， ∴DE=， 故选B．
第12页（共33页）
【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 7．（2015?绵阳模拟）如图，Rt△ABE中，∠B=90°，延长BE到C，使EC=AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线两线相交于点D，连接AD．若AB=3，DC=4，则AD的长是（ ）
A．5 B．7 C．5 D．无法确定
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】几何图形问题．
【分析】通过AAS证得△ABE≌△ECD，则对应边AE=ED，BE=CD．在直角△ABE中利用勾股定理求得AE的长度，然后再在直角△AED中利用勾股定理来求AD的长度． 【解答】解：如图，∵∠C=∠B=90°，∠AED=90°， ∴∠1=∠2．
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴AE=ED，BE=CD=4，
∴在直角△ABE中，由勾股定理得 AE=AB+BE=3+4=5．则AE=5． 在等腰直角△AED中，AD=AE=5． 故选：C．
2
2
2
2
2
2
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形．利用全等三角形的性质求得AE=ED，BE=CD=4是解题的关键． 8．（2015?大竹县校级模拟）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论： （1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍； （3）CD+CE=OA；
222
（4）AD+BE=DE．
其中正确的结论有（ ）
第13页（共33页）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对； 结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；
结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断． 结论（4）正确．利用全等三角形和勾股定理进行判断． 【解答】解：结论（1）错误．理由如下：
图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE． 由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC． ∵OC⊥AB，OD⊥OE， ∴∠AOD=∠COE． 在△AOD与△COE中，
∴△AOD≌△COE（ASA）． 同理可证：△COD≌△BOE．
结论（2）正确．理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴S△AOD=S△COE，
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC， 即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．
结论（3）正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．
结论（4）正确，理由如下： ∵△AOD≌△COE， ∴AD=CE；
∵△COD≌△BOE， ∴BE=CD．
222
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD+CE=DE，
222
∴AD+BE=DE．
综上所述，正确的结论有3个，
第14页（共33页）
故选C．
【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点． 9．（2015秋?仪征市期中）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BD，CD平分∠ABC、∠ACB，过D作平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，等量代换得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果． 【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D， ∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB， ∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD， ∴ED=EB，FD=FC， ∵AB=5，AC=8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=6+8=14． 故选D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键． 10．（2015秋?武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线
AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，则AD的长为（ ）
A．7 B．6 C．8 D．9
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
第15页（共33页）