∵∠ACB=∠ACE=60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE=∠CAD， ∴∠BMC=∠ANC，故选项②正确； 由△BCE≌△ACD得：∠CBE=∠CAD， ∵∠ACB是△ACD的外角，
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=∠CBE+∠ADC=60°， 又∠APM是△PBD的外角，
∴∠APM=∠CBE+∠ADC=60°，故选项③正确； 在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM，
∴AN=BM，故选项④正确； ∴CM=CN，
∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN=60°， ∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确； 故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等． 16．（2012秋?黄州区校级期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）
A．△BPQ是等边三角形 B．△PCQ是直角三角形 C．∠APB=150° D．∠APC=135°
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的性质；勾股定理的逆定理．
【分析】根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ=BP=4，
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∵PQ+QC=4+3=25，PC=5=25，
222∴PQ+QC=PC，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形， ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠BOQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC， ∵∠PQC=90°，PQ≠QC， ∴∠QPC≠45°， 即∠APC≠135°，
∴选项A、B、C正确，选项D错误． 故选D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．
17．（2014?新洲区模拟）如图，已知A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以斜边OA2为直角边作直角三角形，使得∠A2OA3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A2010OA2011的最小边长为（ ）
222222
A．2
2009
B．2
2010
C． D．
【考点】含30度角的直角三角形． 【专题】规律型．
【分析】根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边为斜边的一半，可分别求得A1A2、A2A3、A3A4等的值，观察可发现规律，根据规律解题即可． 【解答】解：由已知可求得A1A2，=1，A2A3=又Rt△A2010OA2011的最小边长为A2010A2011， 观察可发现A2010A2011=
．
，A3A4=
…
故选C．
【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的相关知识，属于基础题，比较简单． 18．（2014?宜宾县校级模拟）如图，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若AE=4，则BD的边长为（ ）
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A．2.5 B．3.5 C．2 D．+1
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半
得出BF=BE=3.5，于是CF=BC﹣BF=1.5，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DC=2CF=3，然后根据BD=BC﹣DC即可求解． 【解答】解：过点E作EF⊥BC于F． 在Rt△BEF中，∵∠BFE=90°，∠B=60°， ∴∠BEF=30°， ∴BF=BE=3.5，
∴CF=BC﹣BF=5﹣3.5=1.5． ∵ED=EC，EF⊥BC于F， ∴DC=2CF=3，
∴BD=BC﹣DC=5﹣3=2． 故选C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 19．（2015?德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．75°
【考点】直角三角形斜边上的中线；轴对称的性质．
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【分析】根据轴对称的性质可知∠CED=∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED=60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点， ∴∠CED=∠A，CE=BE=AE， ∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠CED=60°， ∴∠B=∠CED=30°．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CED=60°． 20．（2015春?威海期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于（ ）
A．5° B．10° C．20° D．30°
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【分析】连接AH，CH，根据在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点可
知AH=CH=BD，再由点G时AC的中点可知HG是线段AC的垂直平分线，故∠EGH=90°，再由对顶角相等可知∠GEH=∠BEC=80°，由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：连接AH，CH，
∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点， ∴AH=CH=BD．
∵点G时AC的中点，
∴HG是线段AC的垂直平分线， ∴∠EGH=90°． ∵∠BEC=80°，
∴∠GEH=∠BEC=80°， ∴∠GHE=90°﹣80°=10°． 故选B．
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【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键． 21．（2015春?澧县校级期中）如图所示：CE，BF是△ABC的两条高，M是BC的中点，连ME，MF，∠BAC=50°，则∠EMF的大小是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80° 【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EM=BM=BC，那么
∠MEB=∠EBM，根据三角形内角和定理得出∠EMB=180°﹣∠MEB﹣∠EBM=180°﹣2∠EBM，
同理∠FMC=180°﹣2∠FCM，在△ABC中，由三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=130°，所以∠EMB+∠FMC=180°﹣2∠EBM+180°﹣2∠FCM=360°﹣2（∠EBM+∠FCM）=100°，然后根据平角的定义求出∠EMF=180°﹣（∠EMB+∠FMC）=80°． 【解答】解：∵CE是△ABC的两条高， ∴∠BEC=90°，
∵M是BC的中点， ∴EM=BM=BC，
∴∠MEB=∠EBM，
∴∠EMB=180°﹣∠MEB﹣∠EBM=180°﹣2∠EBM， 同理∠FMC=180°﹣2∠FCM， ∵∠BAC=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=130°，
∴∠EMB+∠FMC=180°﹣2∠EBM+180°﹣2∠FCM=360°﹣2（∠EBM+∠FCM）=100°， ∴∠EMF=180°﹣（∠EMB+∠FMC）=80°． 故选D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．同时考查了三角形内角和定理及平角的定义．
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