第三讲：一元函数积分学 30%
一、不定积分
（一）．理解原函数与不定积分的概念及其关系，理解原函数存在定理，掌握不定积分的性质。
1、原函数定义：设有可导函数F?x?，若对?x?I，有F??x??f?x?，或dF?x??f?x?dx，则函数F?x?称为f?x?（或f?x?dx）在区间I上的一个原函数.
不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分是一个函数族?F(x)?C?，其中C是任意常数，于是，记为：f(x)dx=F(x)?C．
?2、不定积分的定义：函数f?x?在区间I上的全体原函数称为f?x?在I上的不定积分.
记作f?x?dx
?其中
?——积分号， f?x?——被积函数，f?x?dx——被积表达式，x——积分变量。
3、不定积分的性质：1°不定积分与微分运算是一种逆运算
[?f(x)dx]??f(x)——先积后导正好还原；
或 d
?f(x)dx?f(x)dx．
?f?(x)dx??f(x)?C——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）．
或 df(x)?f(x)?C．
2°：
??f?x??g?x??dx??f?x?dx??g?x?dx
?3°：kf?x?dx?kf?x?dx， （k?0）
?（二）．熟记基本不定积分公式。
x??1?C，(???1,x?0)； 1.?0dx?C；2.?1dx??dx?x?C；3.?xdx???1?4.
1xx?xdx?lnx?C，(x?0)；5.?edx?e?C；
x1ax?C， (a?0,a?1)；7.?cosaxdx?sinax?C，(a?0)； 6.?adx?alna 1
8.sinaxdx???1cosax?C，(a?0)；9.?sec2xdx?tanx?C； a210.cscxdx??cotx?C；11.secx?tanxdx?secx?C；
???12.cscx?cotxdx??cscx?C；13.
?dx1?x2arcsinx?C??arccosx?C1；
14.
dx?1?x2?arctanx?C??arccotx?C1．
（三）．掌握不定积分的第一类换元法(“凑”微分法)，第二类换元法(限于三角换元与一些简单的根式换元)。
1、第一类换元积分法（把复杂函数积分转化为基本函数的积分） 方法一：换元（令，即，则；二变；回代） 方法二：凑微分（思路）：
1. 回顾14个基本积分公式，把它当作原始公式；
2. 将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量，进行凑微分。
即：?f(?(x))?(x)dx?【例1】
1）cos5xdx
/凑微分?f(?(x))d?(x)?F(?(x))?c
?u1，则dx?du 55111 ?cos5xdx??cosu?du?sinu?c?sin5x?c
55511方法二：?cos5xdx??cos5xd5x?sin5x?c
551dx 3） ?(3x?8)100dx 4）?1?2xdx 2） ?3x?2方法一： 令5x?u ，即x?
ln2xdx 【例2】 1） ?xedx 2） ?xx23）
?sin(x?1)xdx 4） ?sin3xcosxdx
5）
f??x?df?x?dx??f?x??f?x??lnf?x??C
1dx xlnxsinxdx 2cosx分析：此类题目的被积函数有两部分及其以上构成，将其中易积分的部分凑微分。 练习：1. xe??x2dx 2. ? 3.
?exxdx 4. ? 2
xx2 5. x1?2xdx 6. esinedx
?? 7.
arctanxarcsinx11dxcosdx 8. （?1?x2?x2x?1?x2dx）
9.
?sinx?cosxdx 10.?f?(cosx)sinxdx
3sinx?cosxexe2xdx （?dx） 【例3】 1） ?1?e2x1?e2x2）
??1x(1?x)dx （?1x(1?x)dx）
2【例4】 1） sinxdx 2）
1?1?cosxdx
323）cosxdx?cosxcosxdx?????1?sinx?dsinx
26 4）secxdx????1?tanx?d?tanx????1?2tan22x?tan4xdtanx
?【例5】 1）
dx?a2?x2
2）
??dxa?x22(a?0)
【例6】 1）
1dx
x2?3x?42）
?11?2x?x2dx
x?2?x2?3x?4dx dx【例7】 1）?2
x?a23）
2）secxdx
?解：（方法一）secxdx??cosxdsinx11?sinxdx???cos2x?1?sin2x2ln1?sinx?C． secx(secx?tanx)d(secx?tanx)dx??secx?tanx?secx?tanx
（方法二） secxdx?? =lnsecx?tanx?C．
3
2、第二类换元法（令，即，则；二变；回代） 类型一：代数换元 【例1】 1）
x?1?xdx
2）
?dux?x3．
小结：对nax?b，设t?nax?b 类型二：三角换元 （1）sinx?cosx?1
（2）tanx?secx?1（secx?tanx?1） 换元： 1.对a2?x2，设x?asint,t?(? 2.对a2?x2，设x?atant,t?(? 3.对x2?a2，设x?asect,t?(0,【例2】 1）
222222??,) 22,) 222)
????a2?x2dx(a?0)．
令x?asint 2）
?dxx?a22(a?0)．
令x?asect 3）
dx?(x2?a2)2(a?0)．
【分析】 为了化简被积函数，可令x?atant 解：令x?atant，t??2，于是，有
asec2t11dx2?dt?costdt?(1?cos2t)dt ?2443?3??22asecta2a(x?a)?【例3】 求
1xax(arctan?)?C． 322ax?a2a2?xdx2．
x?1解：[方法一] 第一换元积分法：
4
?xdx21?11?u???d()??du?1?u2?C?xx11?u2x2?11?2xx2?1?C， x[方法二] 第二换元积分法（令x?sect）：
?xdx2sect?tant??dt??costdt?sint?C?22sect?tantx?1x2?1?C x（四）．掌握不定积分的分部积分法。 分部积分法公式简记为： 步骤：
1. 选u,v（反对幂三指）
2. 套用分部积分公式u(x)dv(x)?u(x)v(x)?v(x)du(x) （1）du?dx,
?ud??u????du
???直接积分??凑微分 du?dx,先求微分??
?分部积分?解方程?x【例1】 1） xedx（幂指）
?2） xcosxdx（幂三）
2 3） xlnxdx（对幂）
??4） arctanxdx
解：arctanxdx?xarctanx?练习 1） xarctanxdx
2） arctan2xdx
2【例2】 1） xsinxdx
??x12dx?xarctanx?ln(1?x)?C ?1?x22???2） xedx
注：分部积分可多次使用．
2【例3】 1） xsin2xdx
?2x? 5