Vy????2(y)dycd
【例1】 求由曲线y?角形绕x轴旋转而生成的立体的体积。 解：取x为积分变量，则x?[0,h]
r?x及直线x?0，x?h(h?0)和x轴所围成的三h??r2?r?V????x?dx?2hh??0【例2】计算由两条抛物线转一周所得的体积。
h2h2x?dx?0?3r2h
轴旋
y2?x和y?x2所围成的图形绕x解：两曲线的交点(0,0)(1,1)
1V??[?(x)2??(x2)2]dx?3?010【例3】求由曲线y?ex，直线y?e及y轴所围成的封闭图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．
解Vy?e1?2?ln2ydy
e1e1e1y?2lny?dy??e?2??lnydy1y??ylny???e1
e??e?2?ylny?2??1?dy???e?2?y1??(e?2)
1e【提高】
dd/f(x)dx?f(x)f(x)dx?f(x)dx?f(x)?c???dx（一）、公式dx和的应用
注意：f(x)的不定积分为F(x)?c?F(x)是f(x)的原函数?f(x)是F(x)的导数，
f(x)dx?F(x)?cF/(x)?f(x)?即 或
已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理 知
?f(?(x))dx?F(x)?c，求f(x)
2/?1/?1?(x)?tf(?(x))?F(x)x??(t)f(x)?F(?(x)) 方法：求导得，令，则，即
f(x)dx?x例1（1）??cxf(1?x，求?2)dx
16
f(x)dx?x解：对?22?c22f(x)?2xf(1?x)?2?2x求导得，
2x2xf(1?x)dx??x(2?2x)dx?x??c?3则
22（2）
?xf(x)dx?arcsinx?c，求?dxf(x)
解：对
?xf(x)dx?arcsinx?c两边求导得
xf(x)?11?x2，即
f(x)?31x1?x2
?dx11??x1?x2dx???1?x2d(1?x2)??(1?x2)2?cf(x)23
/??F(x)?f(x)??f(x)dx?F(x)?c?F(x)f(x)??（二）、已知是的原函数，求被积函数中含有f(?(x))的积分
/f(x)?F(x)求出f(x)，代入积分计算 1、由
2、把积分转化为
?f(?(x))d(?(x))的形式，利用?f(x)dx?F(x)?c求值
sinxf(ax)dx?f(x)a例2（1）x是的原函数，a?0，求 sinxsinxf(x)dx??c?f(x)x解：因为x是的原函数，所以
而
?f(ax)ax?t1dx?2aa?x?f(t)dt?sintsinax?c??ca2ta3x
2xf(lnx)dxf(x)（2）e是的原函数，求?
解：因为f(x)?(e)??e2?x/?xf(lnx)??，所以
1x
x2xf(lnx)dx???xdx???c?2则
（三）、利用凑微分法求积分
///f[g(x)]?g(x)dx?f[g(x)]?d[g(x)]?d[f(g(x))] 注意：
17
例3（1）f(0)?1，f(2)?3，f(2)?5，求
1//令2x?t/?10xf//(2x)dx
12//12tf/(t)212//xf(2x)dx?tf(t)dt??td[f(t)]?|0??f(t)dt??00044440解： f/(2)f(2)?f(0)???224
（2）设f(x)二阶可导，f(b)?a， f//(a)?b，求?baf/(x)f//(x)dx
?解：
baf(x)f(x)dx??///ba[f/(x)]2ba2?b2f(x)d[f(x)]?|a?22
///F（四）、已知(x)?f(x)，且f(x)?F(x)?g(x)，求f(x)
F2(x)??g(x)dxF/(x)F(x)dx??g(x)dx?方法：两边积分，得2，求f(x)
2例4 F(x)是f(x)的原函数，且x?0时，有f(x)?F(x)?sin2x，又F(0)?1，
F(x)?0，求f(x)
/F(x)f(x)F解：因为是的原函数，所以(x)?f(x)， 2/2f(x)?F(x)?sin2xF(x)?F(x)?sin2x， 由于 故
两边积分得
//2F(x)F(x)dx?sin??2xdx?11xsin4xdx?cos4xdx???c1??2228
F2(x)F(x)F(x)dx??F(x)d[F(x)]??c2?2而 F2(x)?x?故
sin4x?c4，又F(0)?1得c?1
而F(x)?0，所以
F(x)?x?sin4x?1f(x)?4
1?cos4x4x?sin4x?4
?(x)c（五）、变上限积分的导数运算
如
F(x)???(x)?(x)f(t)dt，可得成
F(x)??c?(x)f(t)dt??f(t)dt，则
F/(x)?f[?(x)]??/(x)?f[?(x)]??/(x)
18
例5已知f(x)满足
xf(x)?1??t2f(t)dt0x，求f(x)
d[f(x)]1?(x?)dx/2x 解：两边求导得f(x)?xf(x)?xf(x) 即f(x) x2Celnf(x)??lnx?cf(x)?2x两边积分得，所以
x22
定积分或变上限积分的被积函数有参变量时，必须通过换元，使被积函数不含参变量，然后再求导
例6已知f(x)连续，
?x0tf(2x?t)dt?21arctanx2f(x)dx?f(1)?112，求
解：令2x?t?u， 则
?即
x0tf(2x?t)dt???(2x?u)f(u)du?2x?2x2xxx2xxf(u)du??uf(u)dux2x
2x?f(u)du??uf(u)du?x2x1arctanx22 x1?x4
12
两边求导得
2?2xxf(u)du?xf(x)?2因为f(1)?1，上式中令x?1得
2?f(u)du?f(1)?1则
?21f(x)dx?34
（六）、积分估值
?估计积分
baf(x)dx的值
方法：（1）令y?f(x)，x?[a,b]
////y?f(x)f(x)?0f（2）求，确定和(x)不存在的点
（3）在[a,b]上确定y?f(x)的最值
（4）利用
m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)a20b估计积分值
?例7估计积分值
ex2?xdx
2xy?f(x)?e解：设函数
?x，其中x?[0,2]
19
y/?(2x?1)ex令y?0，得
/2?x
x?
12
1?11?f()?e4224因为f(0)?1，2，f(2)?e，故e?y?e
14所以 （七）、形如
2e???e02x2?xdx?2e2b
f(x)?g(x)?h(x)?f(x)dxabaf(x)dx?f(x)a的等式，求和
b?方法：（1）令
f(x)dx?Ab
bbaa?（2）两端积分
得
abf(x)dx?A??g(x)dx??Ah(x)dxba
A??g(x)dx?A?h(x)dxa,求A的值
（3）把A的值代入原式求f(x)
例8设
f(x)?x?x102?10f(x)dx?x3?20f(x)dx
，求f(x)
? 解：令
f(x)dx?a?，
2120f(x)dx?b3则 f(x)?x?ax?bx
两边积分
??10f(x)dx??(x?ax2?bx3)dx?021ab??234
8a?4b3
20两边积分
f(x)dx??(x?ax2?bx3)dx?2?0（八）分段函数的变上限积分
?cosx??例9（1）f(x)???c??性
解：当0?x?0?x??2，求?(x)??2?x???x0f(t)dt，并讨论?(x)在[0,?]的连续
?2时，?(x)?x?x0f(t)dt??costdt?sinx
0x当
?2?0?x??时，?(x)??f(t)dt??2costdt???cdt?1?c(x?02??2)
20