(1) lim?1111?x????n?n?n?2n?n?3n?????n?n?n?? n=lim11n???i?11?i?n??1101?xdx?2?2ln2 n（2）lim12n?n??[n2?n2???1n2]； （3）lim1n?1?1n??[n?2???1n?n]； （4）limnn??[n2?12?nn2?22???nn2?n2] lim??1122n?1?cosn?1?cos?（5）
n?n??ncosn?ncosn???nn1??.
(6)
nlim1???n??2?(n?1)???sinn?sinn???sinn?? （二）．理解变限积分函数的概念，掌握变限积分函数求导的方法。 x若函数f(x)在[a,b]上连续，则
?(x)??af(t)dt在[a,b]上处处可导，??(x)?dxdx?af(t)dt?f(x)，x?[a,b]．
bx(1)如F(x)??xf(t)dt,x?[a,b]，则
F(x)???bf(t)dt，则F/(x)??f(x)
(2)如
F(x)???(x)af(t)dt，则由复合函数的求导法则有
F/(x)?dF(u)?du?f(u)??/(x)?f[?(x)]??/ dxdx(x)
(3)如
F(x)???(x)?(x)f(t)dt，可得成
F(x)??c?(x)f(t)dt???(x)cf(t)dt，则
F/(x)?f[?(x)]??/(x)?f[?(x)]??/(x)
（三）．掌握牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式。 （四）．掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 1、定积分的换元法
11
且
（定积分的换元积分法）若函数f(x)在[a,b]上连续，?(x)在[?,?]上连续可微，且满足
?(?)?a，?(?)?b，a??(t)?b，t?[?,?]，
则有定积分的换元积分公式：
?baf(x)dx??f(?(t))??(t)dt??f(?(t))d?(t)．
????注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处． 【例1】
1）sin2xdx
0?1 2）
??e1ln4xdx xsintcos4tdt
?3）
20x2dx 4）?01?x61【例2】 1）
?411dx
x?x2）
?1?1xdx 5?4x3）
??10(x?1)10x2dx
1x224）
12221?x2dx
5）
?1xx?122dx
2?3?1?x,x?0【例3】 设f(x)??x，求?f(x?2)dx
1??e,x?02、定积分的分部积分法
设u(x),v(x)在[a，b]上具有连续导数，u?(x),v?(x)，则有 ?uv??u?v?uv? 故
???uv?dx ?(uv)?dx??u?vdxabbbaa
?udv?[uv]??vdu
aabbab 12
这就是定积分的分部积分公式。 【例1】
1） 2） 3） 4）
【例2】 【例3】
?xedx
01x???0120xsinxdx
arcsinxdx
2?x?xe01dx
??10eexdx
lnxdx
1e 【例4】 证明
（1） 若f(x)在[a，b]上连续且为偶函数，则
?a?af(x)dx=2?f(x)dx
0a（2） 若f(x)在[a，b]上连续且为奇函数，则
?a?af(x)dx=0
【例5】
x?cosx???21?sin2xdx
2?（五）．理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握其计算方法。
??A?af(x)dx?I?lim?f(x)dxA??a
（其中f(x)在[a,??]有定义且对任意A(A?a)在区间[a,A]上可积）
如果上述极限存在，称其相应的反常积分收敛，否则称其相应的反常积分发散.
???对于无穷限积分
? （1）求常义定积分
（2）计算极限b???baaf(x)dx的求解步骤为：
；
f(x)dx?F(b)?F(a)
lim[F(b)?F(a)]极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.
【例1】 计算下列积分： 1.
?＋?１dxx2(1?x2)
??1dx11??(?)dx?(??arctanx)?1?xx2(1?x2)?1x21?x24 1??解：
???113
2.
???11dx3(x?1)；
??解：3.?0?1111?2dx?[?(x?1)]??28 (x?1)31????e?3xdx
??解：
?01e?3xdx?[?e?3x3??]?013
4.
???01dxxlnx
??e??11??dx??d(lnx)?ln(lnx)e???exlnxlnx.
解：
?5.
解：
（六）．会用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转体的体积。
一、面积
由曲线y?f(x)(f(x)?0) 及直线
( ax?a与
x?b
?b ) 与 x轴所围成的曲边梯形面积A。
A??f(x)dx 其中：f(x)dx为面积元素。
a由曲线
by?f(x) 与 y?g(x) 及直线 x?a，
x?b( a?b )且f(x)?g(x)所围成的图形面积A。
14
bbbA??f(x)dx??g(x)dx??[f(x)?g(x)]dx
aaa其中：[f(x)?g(x)]dx 为面积元素。
【例1】 计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成的图形面积。
x2y2例2 求椭圆2?2?1所围成的面积 (a?0,b?0)。
ab解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内
面积的4倍。
x2取x为积分变量，则 0?x?a， y?b1?2
ax2x2dA?ydx?b1?2dx 故 A?4?ydx?4?b1?2dxaa00作变量替换 x?acost (0?t?aa?2)
x2则 y?b1?2?bsint， dx??asintdt
a?2A?4?(bsint)(?asint)dt?4ab?sintdt?4ab??020(2?1)!!????ab 2!!22【例3】1. 求y＝e，y＝e
x－x
和y＝e围成图形的面积。
11x?22和OX轴围成的平面图形的面积
2.求由曲线
二、体积
y?x2,y?旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称
为旋转轴。
(体积) 由曲线y?f(x)，a≤x≤b，绕x轴产生旋转体的体积
Vx???f2(x)dxab
y同理求由曲线x??(y)，c?y?d，绕轴产生旋转体的体积为：
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