21．（12.00分）设函数f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）． （1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）如果a＞0且关于x的方程f（x）=m有两解x1，x2（x1＜x2），证明x1+x2＞2a．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可； （2）得﹣
+
（x1+x2﹣a）=0，把
（x1+x2﹣a）=
代入
（*）式，令=t，得只需证﹣+lnt＜0．令φ（t）=﹣+lnt（0＜t
＜1），根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax， 可知f′（x）=﹣
+2x﹣a=
=
，
因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），所以，
①若a＞0，则当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
②若a=0，则当f'（x）=2x＞0在x∈（0，+∞）内恒成立，函数f（x）单调递增； ③若a＜0，则当x∈（0，﹣）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减， 当x∈（﹣，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增． （2）要证x1+x2＞2a，只需证设g（x）=f'（x）=﹣因为g′（x）=
+2x﹣a，
＞a．
+2＞0，
所以g（x）=f'（x）为单调递增函数． 所以只需证f′（即证﹣只需证﹣
）＞f′（a）=0，
+x1+x2﹣a＞0， +
（x1+x2﹣a）＞0．（*）
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又﹣a2lnx1+﹣ax1=m，﹣a2lnx2+
﹣ax2=m，
+
（x1+x2﹣a）=0．
所以两式相减，并整理，得﹣
把
（x1+x2﹣a）=
代入（*）式，
得只需证﹣+＞0，
可化为﹣+ln＜0．
令=t，得只需证﹣+lnt＜0．
令φ（t）=﹣则φ′（t）=﹣
+lnt（0＜t＜1）， +=
＞0，
所以φ（t）在其定义域上为增函数， 所以φ（t）＜φ（1）=0． 综上得原不等式成立．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想以及换元思想，是一道综合题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：
（t为参数，a＞0），
在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4sinθ． （1）试将曲线C1与C2化为直角坐标系xOy中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a的取值范围；
（2）当a=3时，两曲线相交于A，B两点，求|AB|的值．
【分析】（1）曲线C1消去参数t，得到曲线C1的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣2）
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2
=a2．由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，能求出曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2=4．曲
线C1是以C1（3，2）为圆心，r1=a为半径的圆，曲线C2是以（0，2）为圆心，r2=2为半径的圆，由此能当两曲线有公共点时a的取值范围．
22
（2）当a=3时，曲线C1为（x﹣3）+（y﹣2）=9，联立方程
，
得两曲线的交点A，B所在直线方程为
的距离为
，由此能求出|AB|．
，曲线x2+（y﹣2）2=4的圆心到直线
【解答】解：（1）曲线C1：
消去参数t，
得到曲线C1的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=a2． 由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ．
故曲线C2：ρ=4sinθ化为平面直角坐标系中的普通方程为x2+（y﹣2）2=4． 曲线C1是以C1（3，2）为圆心，r1=a为半径的圆， 曲线C2是以（0，2）为圆心，r2=2为半径的圆，
|C1C2|=3，∴当两曲线有公共点时，|a﹣2|≤3≤a+2，解得1≤a≤5， ∴当两曲线有公共点时a的取值范围为[1，5]． （2）当a=3时，曲线C1：联立方程
，即（x﹣3）2+（y﹣2）2=9，
消去y，得两曲线的交点A，B所在直线方程为
的距离为
，
．
曲线x2+（y﹣2）2=4的圆心到直线所以
．
【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+1|．
（1）在给出的直角坐标系中作出函数y=f（x）的图象，并从图中找出满足不等
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式f（x）≤3的解集；
（2）若函数y=f（x）的最小值记为m，设a，b∈R，且有a2+b2=m，试证明：
．
【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，画出函数的图象，结合图象求出不等式的解集即可； （2）求出m的值，得到
，根据不等式的性质证明即可．
【解答】解：（1）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=，
所以作出函数f（x）的图象如图所示．
从图中可知满足不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，1]． （2）证明：从图中可知函数y=f（x）的最小值为，即所以故=
，从而
，
+
）
， ．
=[（a2+1）+（b2+1）]（
当且仅当即所以
，
时，等号成立，
时，原式有最小值，
得证．
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【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，考查不等式的性质，是一道中档题．
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