公司投资策划数学模型
摘 要
本文研究的是公司投资决策问题，也是最优化问题。到期利润与四个因素有关，即投资上限，到期利润率，风险损失率及每年的可用投资金额。要求在不同的限制条件下，恰当的安排每年的投资项目及投资资金，使得五年后的到期利润最大。为解决此问题，我们建立了如下模型。
针对问题一：到期利润率，投资上限及可用投资金额已知，我们直接建立了单目标规划模型一，用LINGO求得五年后的最大总利润为maxy?180322(万元)，投资方案为：第一年投资项目为1，2，5,6；第二年投资项目为3,4,5,6,7；第三年投资项目为4,5,6,8；第四年投资项目为1,2,3,4；第五年投资项目为：1,2。具体投资金额见表5.2。
针对问题二：需要根据1986到2005年的数据，对未来五年的到期利润率和风险损失率进行预测。通过利用时间序列预测法[1]建立了一次指数平滑模型，即模型二。求得预测项目单独投资的各项目的到期利润率与风险损失率见表6.2,6.3和6.5，6.6。
针对问题三:相对于模型一，只是到期利润率种类增多，分为单独投资下的到期利润率与同时投资下的到期利润率，还有项目一与项目二自身条件的变化。由此，我们建立了单目标优化模型三，再代入模型二求得的数据，用LINGO软件求得五年后最大总利润为：maxy?522539(万元) ，投资方案为：第一年投资项目为 1,2,5,6 ；第二年投资项目为2,3,4,5,6,7 ；第三年投资项目为2,3,4,5,6 ；第四年投资项目为2，3,4 ；第五年投资项目为 1,2 。具体投资金额见表7.3。
针对问题四：在模型三的基础上，考虑到投资越分散，总体风险越小，并且可用风险最大的项目的损失代替所有的风险损失。因此我们以到期利润与风险为目标建立多目标规划模型四。再用LINGO软件求得，五年后的最大总利润为：
maxy?474029(万元)。投资方案为：第一年投资项目为1,2,5,6 ；第二年投资项目为2,3,4,5,6,7；第三年投资项目为2,3,4,5,6 ；第四年投资项目为 2,3,4；第五年投资项目为1,2。具体投资金额见表8.3。
针对问题五：为了降低风险，公司可在银行进行存款交易，为了获得更大的利润，公司可在银行进行贷款交易。存贷款的数目为每年的可用投资金额与需要投资的金额之差。因此在模型四的基础上建立了多目标规划模型五，再用LINGO求得最大总利润maxy?803006.7（万元），存贷款和投资方案见表9.3,9.4。 最后我们结合实际对模型进行了评估，改进和推广。
关键字：最优解 时间序列预测 风险损失率 到期利润率 模型检验
1.问题重述
公司投资是一种金融中介机构，它将个人投资者的资金集中起来，投资于众多证券或其它资产之中，以获取较大的利润。而本文指出，某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。并且存在风险投资和无风险投资。需要解决的问题有：
一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。要根据实验数据建立模型，确定投资方案，使得第五年末所得利润最大。
二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，，当项目同时投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)要根据往年数据，建立适当的模型，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。
对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。
项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各投资项目的投资上限见表4。 在此情况下，根据问题二预测结果，建立恰当的数学模型，来确定一个投资方案，使得第五年末所得利润最大。
四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。当考虑投资风险，建立合理的数学模型，来确定投资方案，使得第五年末所得利润最大。
五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，建立恰当的数学模型，来确定投资方案，使得第五年末所得利润最大。
2.问题假设与符号说明
2.1问题假设：
假设1：题目所给的数据是正确的，合理的。
假设2：公司的存贷款的形式是定期的，期限是一年，交易的时间是每年年初。 假设3：投资越分散，总的风险越小
假设4：总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量 假设5：假设到期利润率与风险损失率在未来五年保持不变。
2.2符号说明 y 五年后的总的到期利润 第i年的到期利润 （i=1,2,...,5） yi xWij 第i年第j个项目的投资金额 （i=1,2,...,5; j=1,2,...,8） 第i年的可用投资金额 （i=1,2,...5） 第i年的需要的投资金额 （i=1,2,...5） 各项目单独投资时的到期利润率 (j=1,2,...,8) 第j年的到期利润率预测值 Q P ?pj Mj 项目3,4同时投资的到期利润率 （j=3,4） 项目5,6,同时投资的到期利润率 (j=5,6) 项目5,6,8同时投资的到期利润率 (j=5,6,8) 第j个项目的风险损失率 （j=5,6,7,8） 风险最大的项目五年后的最小风险损失费用 银行存款的年利率 银行贷款的年利率 每年的存贷款利息（i=1,2,...5） 第i年的存款 第i年的贷款 KSAj BptRmi ni
3.问题分析
公司的投资是一个很常见的问题，本文说的是某公司有20亿的资金进行投资。他有8个项目可供选择。现以五年为期限，合理的投资，得到最大的总利润。利润即是到期回收利润率与各个项目的本金乘积，而到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。而每个项目的到期回收利润率与投资上限均不一样，而且五年内可投资的次数及开始投资的时间也不一样，由此我们对每个问题分析如下:
针对问题一，对投资作出恰当的安排，使得第五年末获得最大的利润，这明显是个优化问题，需要列出线性方程求解。由题知，只要公司在五年的恰当时间投了资，那么在相应的收益时间定可以回收本利，不存在任何的风险。当有足够的资金时，项目1,2是每年都可以投资，在五年中可以投资五次。项目3,4隔两年投资一次，在五年中可以投资两次。项目5,6隔三年投资一次，在五年中可以投资一次。项目7只能在第二年年初投资，第五年回收本利，项目8只能在第三年年年初投资，第五年回收本利。还有，每个项目的投资都有个最大值与最小值。现在第一年只能考虑项目1—6的投资，因此可设6个项目的投资金额为
x1j?j?1,2...6?,根据题意可列出第一年总利润目标函数y11。第二年只能考虑项目1—7的投资，因此可设7个项目的投资金额为
x2j(j?1,2,...7)，依据题意可列出
第二年总利润目标函数y12。第三年只能考虑项目1—8的投资，因此可设8个项目的投资金额为
x3j(j?1,2,...8)，依据题意可列出第三年总利润目标函数y13。第
四年只能考虑项目1—4的投资，因此设4个项目的投资金额为
x4j(j?1,2,...4)，
依据题意可列出第四年总利润目标函数y14。第五年只能考虑项目1—2的投资，因此设2个项目的投资金额为
x5j(j?1,2)，依据题意可列出第五年总利润目标函
数y15。最后列出五年总利润目标函数y,再加上约束条件(包括每个项目的投资上限和每年的可用的资金)，通过lingo软件算出五年总利润的最大值，以及每年的投资的投资安排。
针对问题二，与问题一不同，存在风险投资，即在投资过程中存在本金损失的风险，到期利润中存在负值，问题一则是无风险投资，即在投资过程中只赚不亏，到期利润均为正值。表2给出了8个项目近20年的投资额与到期利润数据表3给出了同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据。由表可知，项目1,2,3,4为无风险投资项目，项目5,6,7,8为风险投资项目。题目要求根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。由于这是个预测问题，又是与时间有关，因此想用时间序列预测法（即根据预测对象的时间序列数据，依据事物发展的连续性规律，通过统计
分析或建立数学模型，进行趋势延伸，定量预测的方法，）来解决这一问题。
针对问题三，相对于问题一，考虑到一些项目同时投资时，到其利润率的影响，即发生了变化。并且增加了新的约束条件。若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。各项目的投资上限也发生了变化。需要结合问题二的预测结果，只考虑到期利润率，建立新的数学模型，确定一种投资方案，使得五年的利润最大。现在第一年只能考虑项目1—6的投资，因此可设6个项目的投资金额为
x1j(j?1,2,...6),根据题意可列出第一年总利润目标函数
y11。第二年只能考虑项目1—7的投资，因此可设7个项目的投资金额为
x2j(j?1,2,...7)，依据题意可列出第二年总利润目标函数y12。第三年只能考虑项
目1—8的投资，因此可设8个项目的投资金额为
x3j(j?1,2,...8)，依据题意可列
出第三年总利润目标函数y13。第四年只能考虑项目1—4的投资，因此设4个项目的投资金额为
x4j(j?1,2,...4)，依据题意可列出第四年总利润目标函数y14。第
五年只能考虑项目1—2的投资，因此设2个项目的投资金额为
x5j(j?1,2)，依
据题意可列出第五年总利润目标函数y15。最后列出五年总利润目标函数y,再加上约束条件(包括每个项目的投资上限和每年的可用的资金)，通过lingo软件算出五年总利润的最大值，以及每年的投资的投资安排。
针对问题四：考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策。由上面的分析，问题四需要建立一个线性规划的优化模型，目标函数是五年后的总利润。这样我们就建立了模型四，并求出最优解。
针对问题五：为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策。问题五仍然是一个线性规划问题，建立以五年内的总利润最大为目标函数的模型五，利用LINGO软件得以求解。
4.数据分析：
4.1对数据表附表1的分析 根据题目给出的数据，可以看出公司要投资的8个项目均有投资上限，各投资上限见表1。
表4.1 投资项目预计到期利润率及投资上限