目中条件却带着等，那么条件还正确嘛？ ——带等不带等，结果是一样的。?是存在的而不唯一，?代表着“附近”，仅是存在而已。书上定义说是开区间成立，那么它的子闭区间必然成立。?既然不是固定的，你可以说里面的是?。自然成立等价条件：立即推 0<|x-x0|N?n≥N
|f(x)-A|
【例2】设liman=a,且a≠0，则当n充分大时
n??（ ）
11A） an>a- B) an< a+
nn|a||a|C) |an|> D) an<
22【分析】本题很好的考察了极限的定义。看到
liman=a，立马可以写成极限定义的格式：
n????>0，?N>0,n>N，|an-a|
原题中较明显的问题就是取测度咯，A、B采用
1|a|，C、D则使用了。至于为什么我会送你一
2n句话：请观察选项。那么好，我们先来看A、B
111取?=，a-
nnn往下看：
|a|取?=，（对于不等式有如下公式||a|-|b||≤|a-b|。
2可以理解为，a到b的距离一定大于a的长度与b长度的差值。这个请考生自行画图证明，不做赘述）
|a|根据上述不等式得：||an|-|a||≤|an-a|<
2|a|3|a|<| an|< 22故得出了三个答案。（这类题通常作为打开试卷的头一题，难道命题人出错题了嘛？当然没有！） 【注】?是一个很小很小很小的数，而不是一个无穷小量！
1+当n→∞时，→0是变量 n|a|而是一个常数。 2取测度取常数而不取变量。 所以最后的答案是C。 2. 稳定性
3x（2015）设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=k,若
f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量，求a,b,k。 （2009）设f(x)=x-sinax，g(x)=bx3，若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小量，求a,b 【分析】先讲2009
根据已知条件，写出如下式子：
x?sinaxf(x)lim=lim=1 3x?0g(x)x?0bx你是不是想到了洛必达？如果你说是，那么我们再来看一道例中例
1xsinx 【例中例】limx?0x211（洛必达法则）=lim2xsin-cos
x?0xx好了前面那个叫有界变量乘以无穷小，那后面那个呢？有界震荡。好嘛cos?，不断地波动，极
限自然不存在。
难道以上的解法真的对嘛？直接约分得：原式
1=lim sin.有界变量与无穷小之积，结果为零。x?0x很明显，洛必达法则在这里是不能用的。洛必达法则是后验逻辑，也就是说，我们求导得出的式子的极限存在才能说原来函数的极限存在，而原来函数的极限存在，并不意味着求导后的极限一定存在。所以，洛必达法则，并不是随便用的。我们不能在此用洛必达法则解题。那么怎么办呢？是不是一定没有思路了呢？我们想到了一个人，他叫泰勒。
给大家讲个故事吧：从前有一对夫妇，丈夫叫sinx，妻子叫cosx，有一天晚上，sinx出去了，出去干嘛了呢？听相声。郭德纲专场。结果到了很晚，sinx还没有回家，cosx着急了，过了一会儿有人来敲门。门外站了这么一个人: x3x5x-++………. 3?5!啊呀长得好复杂。cosx问：“你是谁呀？”那人回答：“我是你丈夫sinx啊！”cosx:“你怎么变成了这个样子？”那人回答：“老婆，今晚相声
太乐（泰勒）了。”于是sinx泰勒展开了。于是不仅仅是sinx,cosx、tanx、arcsinx、arctanx、e、ln(1+x)…..
以至于所有可导f(x)????? ?anx
归于展开为x
n
看到没有，所有可导函数都可以表示成了幂函数的叠加。多么伟大的贡献啊~那么我们考研要求的泰勒公式，一共有八个：
13sinx=x-x+o(x3)
61214cosx=1-x+x+o(x4)
242133arcsinx=x+x+o(x)
613arctanx=x-x+o(x3)
3133tanx=x+x+o(x)
31213e=1+x+x+x o(x3)
26x1213ln(1+x)=x-x+x+o(x3)
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