?1?x?=1+?x+
?α???1?2x2+o(x2)
133根据sinx=x-x+o(x)得：
613x-sinx~x（x→0）
6再推广一下
13狗-sin狗~狗（狗→0）
61故上题a=1,b=,你看出来了吗?有些人问，为什
6么a一定是1？如果a不是1，那么x-sinax会出现一次项，在x趋向于0时，次数越低的项趋近于无穷小的速度越快。如果有一次项，则可泰勒等价为(a-1)x+o(x)而不能与三次方等价。故a=1.
(sinx?sin(sinx))sinxlim 4x?0x13sinx??16原式=lim= 3x?06x【注】展开原则
A1°型——“上下同阶”原则
B——若分母（分子）是xk，则分子（分母）展开至x
k
133-x?o(x)1x?tanx3如：lim=lim=- 33x?0x?03xarcsinx??2°A-B型（A+B=A-(-B)） ——“幂次最低原则”
——将A、B分别展开至系数不相等的最低次幂为止。
如（2016）当x→0时，f(x)=cosx-e为等价无穷小量，求c,k
1214cosx=1-x+x+o(x4)
242x2?2与g(x)=cxk
ex2?212144=1-x+x+ o(x)
28x2214
故cosx-e =-x+o(x4)
121故c=-，k=4.
12（2015）设f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx,g(x)=kx3,若f(x)与g(x)在x→0时是等价无穷小量，求a,b,k。
【分析】x→0，
1213133f(x)=x+a(x-x+x+o(x))+bx(x-x+o(x3))
236a2133xxx=(1+a)x+(b-)++o()。故：1+a=0,a=-1, 23a11b-=0,b=-,c=- 2233. 新颖性
——牛顿—莱布尼茨公式
我们说如果我们对一篇课文熟悉到一种程度用四个字来形容那就是“倒背如流”。我们都知道：
bb?af(x)dx=F(x)|a=F(b)-f(a)，然而，你要是看到了F(b)-f(a)，能不能把它变回积分的形式呢？ （定积分符号?来源于英文summation）。 【例1】（2016）计算???0arctanπx-arctanxdx
xarctanπx-arctanx这个东西直接积怎么积都积不
x出来的样子，换个想法怎么样？
arctanπx-arctanxarctanxy?dy==? 211?(xy)xx这样的话这个积分就变成了一个二重积分。那么原式=???0??1dydx，二重积分直接积不方便，21?(xy)怎么办？——交换积分次序
????1dx?dy 由d(xy)=ydxdy得：=??? 21?01?(xy)????11=??dxy 2101?(xy)y?=??1x???1arctanxy|dy
x?0yπ=lnπ 2【例二】设y=f(x),如下图所示，f(x)具有二阶导数可积.则以下（ ）答案必成立
10A）?[f(x)-f’(x)]dx<0
110B) ?[f’(x)-f’’(x)]dx>0
110C) ?[f’’’(x)-f’’(x)]dx>0
110D) ?[f’’’(x)-f’(x)]dx>0
11010【分析】（A）I=?f(x)dx>0-? f’(x) dx
11=f(10)-f(1)=0，故I>0.
10(B)I=? f’(x) dx
110=0-? f’’(x) dx=0-(f(10)-f(1))=f’(1)-f’(10)<0
110(C)I=?f’’’(x)dx=f’’(10)-f’’(1)>0-1dx>0，故结果不确定。
1010(D)I=? f’’’(x)dx-? f’(x)dx>0
11故答案选D。
附：一阶导数表示曲线切线的斜率。二阶导数代
10?1 f’’(x)