表曲线的凹凸性。 凹凸：
?x∈I f’’(x)>0“凹”“U”
f’’(x)<0“凸”“?” 二、考研数学的命题题型 1、概念型 2、计算型
3、逻辑推理型（证明题） 4、应用型（强化班讲） ①读课本
1、概念型—导数定义 （牛顿提出）f(x0??x)?f(x0)?limx?0?x=f’(x0) 【注】1、f’(x0)只是一个记号
?2、 ????x?0f???x0?右导数 ???x?0?f???x0?左导数f’(x0)存在? f’+(x0)= f’-(x0) ②读18讲 1°f’(x0)? x0?狗)?f(x0)狗limf(?0狗须一样！
三个狗必
2°求f’(x0),必须-f(x0),此位置不能有任何的发挥。 ③做例题
f(1?cosh)【例一】 设f(0)=0，若lim存在，能2h?0h不能推出f’(0)存在？
f(0?狗)?f(0)?【分析】f’(0) lim
狗?0狗那么带公式——
f(0?1-cosh)?f(0)=lim 1?cosh?01?cosh这时我们想到了一个人，就是我们伟大的毛主席，因为毛主席说过：“没有条件，创造条件，自己动手，丰衣足食。”那就创造条件咯
f(1?cosh)lim 2h?0hf(0?1-cosh)?f(0)1-cosh=lim 21?cosh?o1?coshh（能不能拆，拆开再说，拆开都存在，说明拆对了。这就是所谓的“后验逻辑”） 那就拆开试试咯~
f(0?1-cosh)?f(0)=lim 1?cosh?01?cosh1-cosh1×lim=f’(0) 21?cosh?0h2故f’(0)存在。
同学们，上面的做法对吗？如果你说对，那么我们来看cosh能大于1嘛？当然不能了，余弦函数的定义域是[-1,1]，不能大于一那么1-cosh理所当然不是从两侧趋于零，而是右侧趋于零。也
+就是说，1-cosh→0。所以它只是右侧的极限存?在罢了只存在一侧导数自然不能推出导数存在，
mil所以f(0)=0，若
h?0f1(h)osc?h2存在，不能推出f’(0)
存在。回答完毕。
f(1?ek)【例二】 设f(0)=0,且lim存在，能不能
k?0k推出f’(0)存在？
f(1?ek)【分析】lim
k?0kf(1?e)1?e=lim kk?01?ekkkf(1?ek)1?ek=lim limkkk1?e?01?e1?e?0k=-f’(0)
f(1?ek)故，f(0)=0,且lim存在，可以推出f’(0)
k?0k存在，回答完毕。
【例三】 设f(0)=0,若limf(h?sinh)h?0h2存在，能否推出f’(0)存在？
【分析】limf(h?sinh)h?0h2 =limf(h?sinh)h?sinhh?0h?sinhh2 =f(h?sinh)hh?limsinh?0h?sinhlim?sinhh?0h2 =0?f’(0) 取f(x)=|x| 原式=limh?sinhh?sinh?0h?sinhlimh?sinhh?0h2=不存在 ????f'(0)?16?f'(0)?????f'(0)???f'(0)?0 ????f'(0)?0??【注】∞是特殊的不存在。
sinx有界，但limsinx??x?不存在
☆ 储备典型反例，用来辨析结论。
xx只取±1；有界， limxx?0x=???1??1???不? ?狗狗有界，但在狗?0时，极限不?
?x2exdx
X2 2x 2 0
ex ex ex ex
=x2ex-2xex+2ex+C
【例四】 设f(x)在x=0处有定义limf(h)?f(?h)h?0h?，能不能且
推出，