（1）三棱锥P?ABC的体积
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）
【
答
案
】
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 30.【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.
（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值； （II）证明平面PDC⊥平面ABCD；
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
【答案】
31.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）
1
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点
2(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
C1
A1
B1
D
C A
B
【答案】
32.【2012高考湖南文19】（本小题满分12分）
如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD. （Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积.
中国^教*~育出#版%【答案】
【解析】（Ⅰ）因为PA?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA?BD. 又AC?BD,PA,AC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD?平面PAC， 而PC?平面PAC，所以BD?PC.
（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD?平面PAC， 所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而?DPO?30?. 由BD?平面PAC，PO?平面PAC，知BD?PO. 在Rt?POD中，由?DPO?30?，得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形，AC?BD，所以?AOD,?BOC均为等腰直角三角形， 从而梯形ABCD的高为
S?1212AD?12BC?12?(4?2)?3,于是梯形ABCD面积
?(4?2)?3?9.
在等腰三角形ＡＯＤ中，OD?22,AD?22,
所以PD?2OD?42,PA?PD?AD?4.
13?S?PA?13?9?4?12.
22故四棱锥P?ABCD的体积为V?
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD?平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD?平面PAC，所以?DPO是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由V?33.【2012高考山东文19】 (本小题满分12分)
如图，几何体E?ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB?CD,EC?BD. (Ⅰ)求证：BE?DE；
(Ⅱ)若∠BCD?120?，M为线段AE的中点， 求证：DM∥平面BEC.
【答案】(19)(I)设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC?CD知 ，
CO?BD13?S?PA算得体积.
，
又已知CE?BD，所以BD?平面OCE. 所以BD?OE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BE?DE.
(II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE， ∵△ABD是等边三角形，∴DN?AB.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC?AB， 所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. 34.【2012高考湖北文19】（本小题满分12分）
某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2。
A．证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；
B．现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单位：厘
米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？