第十二章 信用风险和信用衍生工具
到目前为止，我们所专注的产品全部是有保障的现金流。我们假定这些现金流、息票、支付和偿还价值来自一个完全可信赖的来源或以某种承保的方式使得收入是确定的。由于交易所的承保方式，以及另一部分原因是要求存入保证金的缘故，在交易所购买的期权通常被认为是无违约风险的。
在实务中，许多债券并没有这样的保障。也许它们是某一家公司为了扩张而发行的借款借据。在这种情况下, 发行公司可能在付清所有现金流之前就宣布破产。另外，它们也可能是政府为了支付非常规的债务发行的债券。场外市场(OTC)交易的期权可能具有显著的交易对方风险。
在存在违约风险的情况下，如何对金融资产进行估值是本章的重点。估值的方法可以分为两类：一类是围绕着发行公司(或国家)的价值问题展开的建模；另一类是围绕违约风险的建模。稍后我们还将讨论像标准普尔和穆迪等信用评级公司提供的服务。这些信用评级为人们提供了一种对公司相对资信的公开评估。
本章还将介绍在业界广泛使用的信用度量术和崩盘度量术。之后我们将讨论考虑违约风险后的衍生工具定价问题、信用衍生工具及其定价问题。
第一节 围绕公司价值的建模
这种建模方法越来越引起人们的兴趣，因为它们显然比较接近现实。缺点是这类模型的求解通常较复杂，而且在测度它们的参数上存在一定的困难。
在这里我们先介绍这类模型中最流行的一个，其参数较容易度量，然后再介绍一个相似的模型。
一、公司价值为随机变量的模型
运用公司价值对风险进行定价经常从选择公司价值的模型开始。（稍后我们将看到另一种方法）。将公司价值视为是随机的，以便我们能为因违约风险造成的债券价格随机性进行建模。隐藏在对公司估值思路背后的原形来自于Black、Scholes 和 Merton 的期权定价方法。下面我们采用的是 Longstaff 与 Schwartz 的模型。
我们暂时假定发行债券的公司具有价值A,而且A是随机的并服从随机微分方程：
dA??Adt??AdZ.
这个A将是我们的自变量之一。违约通过破产的概念来加以建模。我们将假定一旦公司的价值低于某一临界水平Ab时公司将宣布破产。
让我们考虑最简单的例子:该公司在时间 T 有一笔债务 D 要归还（这是一种无息票债券）。但在此期间如果公司破产了，该债务将无法偿还。为了使事情在开始时尽可能简单, 假定利率是固定已知的。 （一）确定利率的情况
对该公司发行的这种风险债务我们怎样才能给出一个公平的价格? 正如我们经常采用的做法，我们将运用对冲的办法。但是，如果该公司的股票不能交易，那么与该公司的债务相关联的风险是不可能轻易地被对冲的。但鉴于定价目的，我们仍可假定这种风险是可以对冲的。
由于债券价值V是公司价值A和时间的函数，运用伊腾引理（6.10）我们有：
??V?V122?2V??VdV???A???Adt??AdZ 2??A?t2?A??A?由于A和V含有相同的风险源，我们只要用一单位多头V加?V/?A单位空头A，就可
以构成瞬态无风险组合：
??V?由此我们有：
?VA. ?A??V122?2V??Vd??dV?dA????Adt 2??A?A???t2由于风险源相互抵消，?在短时间dt内只能获得无风险报酬，即：d??r?dt。这样
我们就可得到V遵循的偏微分方程：
?V?V122?2VrA???A?rV ?A?t2?A2这个方程的最终条件是V(A,T)?D，表示到期时的债务支付。由于当发行公司的价值达到 Ab 时公司将违约，故我们有边界条件V(Ab,t)?0。另外，由于利率已知，因此公司债券价值小于等于D的现值，这是另一个边界条件V(A,t)?De?r(T?t)。
这样就完成了模型的建立。在这里“破产”的债务没有任何收回是不切合实际的假设，
而且它明显将影响到边界条件。暂时我们还无需为这一问题担忧。实际中它显然在是很重要的, 而且在模型中将债务收回率考虑在内也并不是太困难的事。
（二）随机利率的情况
我们可以在上面的问题中引入一个利率模型使该模型变得更接近现实。总之，要不是存在着信用风险，我们又可以回到较简单的无风险债务定价问题上。我们并不打算在此纠缠于应选择怎样的利率模型问题上，而只是将其表示为：
dr?u(r,t)dt?w(r,t)dZ1.
我们还仍然假定：
dA??Adt??AdZ2.
在两个随机漫步之间存在着一个相关关系?。现在假定债务的价值 V 是一个三个变量的函数，则我们有 V(A, r, t)。
为了得到 V 应满足的方程，我们将一单位风险债券多头，加上?1单位价格为P(r,t)的无风险零息票债券空头和?2单位的空头A组成对冲组合:
??V(A,r,t)??1P(r,t)??2A.
根据伊藤引理，我们可以得到：
?P???V???Vd?????2?dA????1?dr?A?r?r???? 2222??V?P122?V12?V?V12?P?????1??A?w???wA?w?12?dt22?t?t2?A2?r?r?A2?r???V/?r?V，?2?来消除 dr 项和dA，这样?在短时间dt内只能获得无风
?P/?r?A险报酬，即：d??r?dt。这样我们就可得到V遵循的偏微分方程：
选择?1??P?V?V122?2V12?2V?2V12?2P?V/?r(rA?)???A?w???wA?(rP?w)?rV
?t?A?t2?A22?r2?r?A2?r2?P/?r这个方程的最终条件为V(A,r,t)?D， 表示到期时的债务支付。由于当发行公司的价值达到 Ab 时公司违约，我们有边界条件V(Ab,r,t)?0。另外，由于利率已知，因此公司债券价值小于等于D的现值，这是另一个边界条件V(A,t)?De?r(T?t)。 在公司价值和利率之间的相关关系为零时的这种特殊情况下，上述偏微分方程的解可写作如下形式：
V(A,r,t)?P(r,t;T)H(A,t). （12.1）
其中P(r,t;T)是与债务有相同到期期限的无风零息票债券。H(A,t)满足:
?H122?2H?H??A??A?0 ?t2?A2?A其边界条件为：H(Ab,t)?0, H(A,T)?1, H(A,t)?e?r(T?t), A?Ab。
所有的违约建模问题都变成关于 H 的问题。对这个模型的主要批评是它的变量和参数
很难测度。然而，作为一种现象模型它则是有用的，也许可用来估计同一家企业的不同债务类型的相对价值, 或用来估计具有相同信用等级的不同企业债务的相对价值。
二、用可测的参数和变量建模
现在我们介绍一个用易于测度的量作为输入的模型。我们在这里将专注于利率为确定时的债务定价；因为只要在模型中增加复杂性和运算时间就可以很容易将其扩展成随机利率的模型。我们将对一个经营程序非常简单的公司的债务进行定价: 它出售自己的产品, 支付成本并将所有的利润存入银行。在这个模型中的关键量是公司的收入。这些收入被认为是公司从产品销售中获得的总收入。利润就是经营总收入扣除成本。假定公司的年总收入 E 是随
1
机的：
dE??Edt??EdX。
我们假定公司的年固定成本为 E 。可变成本为 kE 。利润E - E- kE = (1 - k)E - *
E 存入银行赚取一个固定利率 r 。如果我们用 C 表示在银行账户中的现金，那么有：
t*
*
C??[(1?k)E(?)?E*]er(t??)d?.
0这个表达式表示的是公司的累积收入加上银行存款利息。求微分得到 C 应满足的随机微分方程:
dC?[(1?k)E?E*?rC]dt.
我们选择了对企业的收入建模，而不是对公司的价值建模，因为测度前者要容易得多，也许只需查看一下公司的账簿就行了。我们将看到这么做的结果是公司的价值变成了该模型的一个输出。任何时候公司经营状况的好坏将由它的收入和银行账户上的余额决定，也就是
1
当然，我们不需要选择一个对数模型，但传统做法是从对数模型开始。
由 E 和 C 决定。公司股东当然希望(1- k)E>E，然而，即使不是这样（如在交易开始时），公司收入的增长也可能最终使公司盈利。
假如公司有欠债 D 必须在时间 T 偿还。我们作一种简化假设：如果公司在时间 T 时银行账户上有 D ，那么它将会偿付债务。如果它在银行账户中的钱少于 D ，它将用银行账户中的所有款项来还款, 如果它在银行账户上的余额为负数就什么也不偿还。这使得偿还为：
max(min(C, D), 0) (12.2)
如果我们将部分偿还或债务重组结合到模型中去将使该模型更复杂。
债务的价值是关于E, C 和 t 的一个函数。将量 V(E, C, t) 看作是(12.2)式中的期望值的现值。仍然通过伊藤引理和无套利定价法，我们可以求出dV遵循的偏微分方程：
*
?V?V122?2V?VrE??E?[(1?k)E?E*?rC]?rV， 2?E?t2?E?C其最终条件为V(E, C, T) = max(min(C, D), 0)。
实际上，我们可以证明当 C 和 E 都很大时债务价值逼近无风险零息票债券的价值。将这一结论运用在对风险债务的定价上是非常有用: 借款的价值只是简单的 V(E，C，t)。而且，它只需经过简单的修改就能适应更复杂的公司。例如一种可能是公司一旦出现赤字就立刻关闭公司。这可用下列边界条件来加以建模：
V(E, 0, t) = 0。
通过改变最终条件和边界条件用上述模型来为公司估计以及考察不同商业策略对公司价值的影响就是一件非常容易的事情。举例来说, 假设我们将公司的价值取为在未来时间 T0在银行的预期现金的现值。 这样一种有限时间期限的假设是我们在估计潜在增长率快于利率的无限现金流之和的现值的时候通常采用的一种做法。
为了说明这种方法具有的灵活性，我们考虑对有限责任公司债务的估价和对无限责任的合伙公司债务的估价这两种不同问题时将采用的不同边界条件。
（一）有限责任公司
如果公司没有负债，当时间 T0 公司在银行中具有一个负的金额时，则
V(E,C,T0) = max(C, 0)。
（二）合伙企业
如果企业所有者对公司的负债负有无限偿还责任，则当C<0时， V(E,C,T0) = C。
我们不仅可以使用这个模型考察公司的法律责任, 而且可以用它来研究各种不同的操作程序对公司价值的影响。
第二节 围绕违约风险的建模
瞬态违约风险模型是便于使用的一种模型，因此也是最流行的信用风险模型类型。它最简单的形式是发生违约的时间完全是外生确定的。举例来说，我们每个月掷骰子一次，当出现数字 1 时公司将违约。这说明违约具有外生性并且它是随机的。泊松过程（Poisson process）是违约时间的一种典型选择。我们将看到如果泊松过程的密度为常数时（如同我们所举的掷骰子例子的情况），对风险债券的定价等于在债券收益率上增加一个独立于时间的利差。我们还将看到密度本身是一个随机变量的模型。作为该模型的改进我们还将考虑债
券的重新评级问题。像标准普尔和穆迪这样的公司根据他们对违约风险的评估为债券进行分类。例如，一个债券可能开始时具有较高的信用等级，但由于发行公司的表现而使其被重新评级。这种对债券的重新评级将造成对债券违约风险的直观认识上和债券市场价格上的重大的影响。我们将在第3节介绍一个风险债券重新评级的简单模型。
一、泊松过程和瞬态违约风险
建立信用风险模型的另一种方法采用了瞬态违约风险q。如果在t时刻公司没有违约，那么在t和t +dt期间的违约概率是qdt。这是泊松过程的一个实例；暂时什么也没发生，然后存在着一种状态的突变。这是我们前面的投掷骰子模型的连续时间形式。
最简单的例子是取q为常数。在这种情况下我们可以很容易地决定T时刻之前的违约风险。我们的做法如下:
设Q(t;T)是给定公司在t时刻没有违约的情况下，在T时刻之前公司不违约的概率。在t时刻公司不违约的前提下，公司在T时刻不违约的概率Q(t;T)等于公司在T-dt时刻不违约的概率Q(t;T -dt)乘以T -dt时刻到T时刻之间不违约的概率（1-qdt）。即：
Q(t;T)?Q(t;T?dt)(1?qdt)
由此可得：
dQ?qQ(t;T)。 dt如果公司从没有违约，那么Q(T; T) = 1。 这个问题的解为：
Q(t;T)?e?q(T?t)
在不考虑违约风险溢酬的情况下，有违约风险的债券价值等于无违约风险的债券价值乘以有违约风险债券不违约的概率，因此
V?e?q(T?t)F (12.3)
其中F是其它特征与风险债券相同的无风险债券的价值。这个债券的到期收益率等于
log(e?q(T?t)F)logF????q
T?tT?t因此，违约风险对收益率的影响是增加了一个价差q。在这个简单的模型中，价差对所
有的到期日是固定不变的。
现在我们将它应用在衍生证券上，包括风险债券。我们将假定即期利率是随机的。为了简化，我们将假定即期利率的扩散过程和违约事件的泊松过程之间不存在相关关系。
构造一个“对冲”的资产组合：
2
??V(r,q,t)??V/?rF(r,t)。
?F/?r在一个短时间内，若该债券不违约（其概率为(1-pdt)），则
?V?V/?r?F12?2V12?V/?r?2Fd??(??w?w)dt （12.4） 22?t?F/?r?t2?r2?F/?r?r另一方面，若该债券违约（其概率为pdt），且违约时的回收率为0，则
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如果考虑违约风险溢酬λ，则风险债券的收益率将比无风险债券高q +λ。或者换个角度说，我们可以
把q看作包括了违约风险和违约风险溢酬。