（二）信用差价期权
运用前面的方法计算风险债券的到期收益率，用y表示，同样地计算等价无风险债券的到期日收益率，用r表示。这二个收益率之间的差额y?r就是差价。除非出现相当异常的情况，否则这个量肯定是正的。回报依赖于这个差价的合约就是信用差价期权。
回报还可以是两个风险债券之间的差价（y1-y2），这两个风险债券既可以是同一发行者也可以是不同的发行者，在这种情况下差价可以改变符号。因此，典型的回报具有下列的形式：
max(y1?y2,0)。
第七节 信用衍生工具的定价
我们将详细考察二种信用衍生证券从而了解可能的建模方法。第一个例子是以风险债券交换一定数量的等价无风险债券的期权。为了对该合约建模，我们将使用一个随机违约风险模型。第二个例子是在考虑信用等级变化事件下的支付合约。为了能对其建模我们显然必须使用一种直接捕捉到信用等级可能变化的模型。
一、交换期权
一个在时间T按某一固定的q以零息票风险债券交换零息票无风险债券的期权所具有的回报为：
max(kF?V,0)
其中k是事先规定的比例。
在对这个期权定价时我们可以考虑各种不同水平程度的细化问题。第一层水平上我们假定无风险利率和违约风险是确定的。这样无风险债券和风险债券都具有完全确定的价格。这样的假定并无法让我们满意，因为要对像我们这里的讨论的具有非线性回报的证券进行定价，随机性是非常重要的。
第二层水平的细化是假定无风险利率和违约风险两者中只有其中一个是随机的。例如，假设无风险利率是随机的但违约风险是常数。这是一种常用的方法，其结果正如我们在前面看到的，是在到期收益率上简单地加上一个固定的差价。让我们来看看怎样在交换期权上应用这种方法。
假定在债券到期日TB （TB>T）收到的本金为D，则从本章第二节的（12.3）可知，
V(r,t)?e?q(TB?t)F(r,t)
这种二个债券之间完全确定的关系是假设违约风险固定不变的结果，显然破坏了对交换期权的定价。对该合约定价的微妙之处就在于违约风险是随机的。通常对于信用衍生证券，像在这个例子中假设违约风险是不变的常数是不恰当的。因此对于第二层水平上的细化，较好的假设是利率由远期利率给定，而违约风险q则满足某个随机微分方程。这种方法将比前述方法对我们的合约更有意义。
在利率是常数的情况下，我们从本章第二节的分析可以得到风险债券价值遵循的偏微分方程是：
?V12?2V?V?????(r?q)V (12.12) ?t2?q2?q同时
V(q,TB)?D
现在我们的交换期权回报的价值f(p,t)等于：
max(kDe?r(TB?T)?V(q,T),0)。
括号内的第一项是一个常数，因此这个问题看起来完全就像是一个零息票债券看跌期权的问题。当然，仍然存在着选择?和δ的函数问题，但实务中经常采用的选择是便于我们得到明确解的函数。
下一层水平的细化是假设利率和风险率两者都是随机的。从（12.9）可知V满足方程：
?V12?2V?2V12?2V?F12?2F?V/?r?V?w??w????(?w)???(r?q)V?t2?r2?r?q2?q2?t2?r2?F/?r?q
(12.15)
然而，无风险债券是独立于违约风险的，所以我们有 F(r,t), 它与 q无关。风险债券则确实依赖于违约风险，因此是一个三个变量的函数V(r,q,t)
首先，我们运用下面式子求解基本标的债券：
F(r,TB)?V(r,q,TB)?D
然后,求解交换期权f(r,q,t)，它同样满足(12.15)式。同时，
f(r,q,T)?max(kF(r,T)?V(r,q,T),0)
由于这个交换期权是一个二阶合约，因此其价格可能对模型相当敏感。
二、信用评级变动的支付
比简单的违约支付更敏感的是根据信用等级变化支付的衍生证券。我们将介绍对两种不同类型的这类合约的定价。在第一个例子中，如果合约到期时信用评级为某一信用等级时将存在一笔支付。在第二个例子中，到期前无论任何时候只要某一信用等级变成现实就将存在支付。
假如一个债券发行者现在的信用评级是AAA级，而合约规定如果在某一确定日期发行者的信用评级降为AA级，则合约的持有人将获得一笔固定金额的支付。显然，要对该合约定价我们需要一个明确考虑信用等级变化的模型（参阅附录12.A）。让我们假设利率是不变的。用来解的方程为
dV?(N?rI)V?0 dt其中V表示对应于各种信用风险状态的债券价值的列向量，N表示常数矩阵，I表示单位矩阵。
合约中如果信用等级是 AA就必须支付的规定必须被结合在边界条件中。由于除非发行者被评级为AA级,否则不存在支付，故边界条件是简单的 V(T)?bAA
其中 bAA 是除了相应的信用等级为 AA 的元素是D外，其他元素为零的一个行向量。 在任何时刻信用等级被降为 AA 级都将触发支付的合约更具吸引力，但它的定价并没有因此就变得困难许多。
如果将这个合约看成类似于一个“敲入”障碍期权，显然这将有助于对其进行定价。在
敲入障碍期权中，支付是由基本标的变量达到某一给定水平而触发的。我们的信用衍生证券也具有类似的情况，其中信用等级水平扮演了基本标的变量的角色。
同样，我们必须求解：
dV?(N?rI)V?0 dt其边界条件为V(T)?bAA。
但现在我们还有一个附加条件，它对应于敲入障碍期权中的边界条件为：对于所有的t?T，VAA?D。其中VAA为对应于 AA 信用等级的输入向量 V 。
换句话说，在达到 AA 等级的那一刻我们获得 D的支付。对于这类合约通常会对触发有效时间加以限制。在这类合约中只有当触发处于有效期内对于VAA的条件才会生效。
本章小结
1.应用公司价值作为随机变量，将违约与破产的概念联系起来对风险债券进行定价。定价中可以假设利率是固定的，则问题就变成是一个敲出障碍期权的问题。但如果债务发行公司不是一家上市公司，模型的参数估计就存在一定的困难。
2.应用公司价值的风险债务定价模型，也可以用利率风险对冲方式引入随机利率模型。如果公司价值与利率不相关，则问题转化为V(A,r,t)?F(r,t;T)H(A,t)。
3．以公司价值进行的风险债券的定价模型可以改成用公司收入来对风险债券进行定价。这样可以解决前面遇到的参数估计困难的问题。这样做的结果实际上是对复合期权的定价，即问题变成对期权的期权定价。
4．另一种模型是瞬态违约风险模型，它假定发生违约的时间完全是外生确定的。即违约服从一个泊松过程。这种模型将问题归结为估计风险债券与无风险债券之间的差价问题。假定这种差价是固定不变的，利用市场变量可以很容易估计出违约的期限结构。
5．瞬态违约风险模型更一般的形式是假定瞬态违约概率是随机的。并可以在模型中加入违约时的回收率，以及债务偿还的优先顺序问题。
6．违约风险不仅出现在违约事件发生时，公司的信用等级下降也会造成违约风险。 7．信用度量术推出了一整套利用市场数据和信用转移矩阵估计信用风险的方法。 8．信用度量术使得度量非交易资产及其资产组合的信用VaR成为可能。
9．崩盘度量术则是一种度量在最糟糕情况下任何交易和非交易资产及其组合可能表现的技术。
10．崩盘度量术提供了在考虑最糟糕情况下的优化投资组合方法。
11．利用信用风险定价关系，可以对具有信用风险的衍生证券的理论价值加以修正。 12．资产类衍生证券的修正为f*?fe?(y?r)(T?t)，f*是有违约风险的衍生证券价值，f为类似的无违约风险的衍生证券的价值，y是“有风险”的贴现率，r是无风险的贴现率。
13. 既可能是资产也可能是负债衍生证券的修正为f?f*??(y?r)t?T0u(t)v(t)dt，v(t)是在t
时刻衍生证券损益暴露的价值，u(t)?e其中?(t)是由y零息票收益率曲线计算?(t)，的t年期瞬时远期利率的变动值。
14．信用衍生证券是与信用风险或违约事件相关联的衍生证券的新兴种类。信用衍生证券中一类为违约触发的衍生工具：包括违约互换、信用违约互换、有限追索权票据和资产交换；另一类为收益率差价衍生工具：包括违约期权和信用差价期权。
15. 交换期权的基本定价关系为max(kF?V,0)，即在时间T按某一固定的k以零息票风险债券交换零息票无风险债券的期权。信用变动支付期权需要用到信用转移矩阵，并根据
衍生证券的不同要求，确定边界条件。
习题
附录12.A 信用变动下的债券定价模型
由于一个债券在这段期间可能从A迁移到BBB又迁移到BB，我们怎样能够为这种迁移序列建立模型？这是通过对一个很小的时间期限引入一个转换矩阵来实现的。我们可以通过马尔科夫链在不同状态之间的连续时间转换来建立模型。
一、基本模型
为一个从t到t+dt的很短时间期限建立迁移模型。由于这个时期非常短，所有任何迁移的机会都很小。最可能的事件是不迁移。我们将衡量时间期限为dt的状态变动的概率。如果在该时间段的转换矩阵为Mdt，那么我们可以写作
Mdt?I?Ndt
其中I为单位矩阵。N的每行各项之和必须为零，而最后一行必须只有零，因为违约是一种不可逆状态。我们将运用M(t,t?)来表示在有从时间t到t’期间的转换矩阵。
（一）前推方程
通过考虑在时间段dt中从一种状态到另一种状态的可能变化及其相应的概率，我们发现M(t,t?)与Mdt之间的关系只不过是
M(t,t??dt)?M(t,t?)Mdt
用N来表示它是
M(t,t??dt)?M(t,t?)(I?dtN)
两边都减去M(t,t?)并除以dt我们得到：
?M(t,t?)?M(t,t?)N ?t?这个常微分方程是前推方程，必须同下面的式子一起求解
M(t,t)?I
这个矩阵方程的常数矩阵N的解为:
M(t,t?)?e(t?t?)N (12.A1)
一个矩阵的指数被定义为通过一个无限求和来得到，因此
e(t??t)N1??(t??t)iNi t?0t!?方程(12.A1)我们可以有几种运用方式。首先，假定公司XYZ在时间t = 0被评级为A。假设我们知道N，我们怎样能够得到在将来的时间T处于某一特定状态的概率？这很简单。
我们只需找到矩阵M(0,T)的第三列。用bi表示除了第i列元素之外其余均为零的行向量，它对应初始状态。在我们的情况为i ＝ 3。问题的答案是
TN biM(0,T)?bei运用前推方程解的另一种方法是在一个有限时间期限中从转换矩阵M推导矩阵常数矩
阵N。换句话说，我们可以求解
eTN?M(0,T)
为什么我们想要这么做？一个原因是某些评机构级以及另外的一些公司出版一年期限的转换矩阵，如表12.3。如果你想要知道比该期限更短的期限会发生什么(而你相信这个一年矩阵)，那么你将需要找到N。
假定我们可以以下列形式对角化矩阵N：
N?LEL?1
其中E是对角矩阵。如果我们能这么做，那么E的元素是N的特征值。因此我们能写作
?1ii?1i1?1i??TN??T(LEL)?L?TiEiL?1 i?0t!i?0t!i?0t!?M(0,T)?eTN但是由于E是对角矩阵，当它被提高到i幂级时结果是每个对角元素提高至i幂级的另
一个对角矩阵：
?e10?0e2iE???????00?由此它遵循
?0??e1i???0??0??????????en???0i0ie2?0?0???0? ????i??en?M(0,T)?LeTEL?1
其中e是具有对角元素eTETei的矩阵。两个矩阵M(O,T)和N的特征值是密切相关的。
TE寻找N的策略是首先对角化M(O，T)得到Le，其后求解矩阵N是简单事情。
（二）后推方程
后推方程具有扩散问题后推方程的类似含意，能够以类似的方式推导。该方程为
?M(t,t?)??NM(t,t?) (12.A2) ?t
二、定价方程
已经建立了等级迁移的模型后，让我们考虑如何对风险债券定价。我们以零息票债券为例。在前一节我们推导了转换矩阵的前推方程和后推方程。在布朗运动世界中的后推方程和合约价格之间的联系在马尔科夫链世界中被保留下来，所以我们将跳过大多数的细节。
风险债券价格取决于公司的信用评级。所以，我们将需要每个信用等级的一个价值。列向量V将具有每一信用状态的债券价值项。暂时假设利率为固定的。该向量将只是t的一个函数。同样，期权的价值与转换密度函数后推方程有关系。现在我们有下列债券价值的方程：