d????idSi?i?1N12???dSdSijii?1j?iNNj (12.12)
图12.8 香港恒生旅馆集团收益率与恒生证券指数收益率
我们假定当存在着一个极端变动时，每个资产的百分比变动可以与基准的变动百分率x相关联：
dSi?kixSi
这将(12.12)式简化为 d??x??kS?iiii?1N12x2???kkSSijijii?1j?iNNj2?xD?1xG 2注意这里是怎样包括了一阶和二阶的崩盘风险暴露的。一阶系数D是崩盘Delta而二阶系数G
是崩盘Gamma。
现在我们用下面的限制条件限制基准的变动： ?x?x?x
投资组合变动最坏的情况发生在该区间的端点或区间内部的点上： x????D G在这种最糟糕的情况下投资组合变动为： d?worstD2??
2G而且，我们也可以计算在这种最糟糕情况点上的崩盘Delta和Gamma。 上面所描述的单一资产模型中的所有观念都可以引入到多资产模型中，我们只是在确定我们的投资组合可能发生的最糟糕情况时运用了 x 来代替dS。
四、多指数模型
以同样的方式，CAPM模型可以容纳多个指数，所以我们可以有一个多指数的CrashMetrics模型。我们将跳过大多数的细节，其应用过程是简单的。
我们将每个资产的极端收益率按照下列方式拟合到指数的极端收益率里： ?Si?jk?ixj j?1n其中n个指数通过j上下标来表示。
股票和期权投资组合的价值变动现在是所有的xj的二次方程式。此时我们必须决定在什么指数收益率范围内我们要寻找最糟糕情况。只考虑两个指数的情况，因为它容易画图。 一种可能是允许x1和x2相互独立的，并在给定的范围内取任意的值。这将相当于在图12.9中的矩形内寻找二次方程函数的最小值。请注意在这里两个指数之间不存在相关关系。幸好这个难以度量的参数是无关的。但是，如果你相信一个指数的崩盘规模与另一个指数的崩盘规模之间存在着某种相互关系，你可能想要缩小你探索最糟情况的区域。图中给出了一个这样的例子。
图12.9 两指数模型中人们感兴趣的区域
五、崩盘矩阵的简单扩展
现在我们想简要地概述CrashMetrics扩展到其他情况以及捕获其他的市场效应的方式。由于CrashMetrics基本形式的简洁，许多额外的特征能够相当直接地结合到该形式中。
首先，我们没有叙述CrashMetrics的方法论可以怎样应用到利率产品上。这不困难，只须运用一个收益率(或几个收益率)作为基准并把产品价值变动通过久期和凸性与收益率变动联系起来。其余的读者可以推测将如何完成。
一个特别有趣的课题是在一次崩盘之后参数将会是怎样。在崩盘之后通常存在着波动率上升的现象。波动率增加可以通过把Vega项加入到模型中来解决，这个Vega项还取决于崩盘的规模。这在概念上是很明了的，但需要分析崩盘发生前后的期权价格数据。如果你在崩盘期间拥有普通期权多头，你将从这种波动率增加中得到好处。
最后，通常的经验告诉我们崩盘不久后股票将出现反弹，因此实际的价格下跌并非如人们认为的那样糟。典型情况下快速损失的20%在不久以后就会恢复，通常在出现非常大幅的下跌后面跟着就会有那么一日大幅的上升。但这决不是一种硬性的规则。将这种动态效应合并到相对静态的CrashMetrics中是一件有趣的工作。(在预期出现崩盘和反弹情况下购买一
个向下敲入障碍看涨期权是非常有效的)。
第五节 考虑到违约风险后的衍生工具定价
债券市场上对信用风险的调整可作为计算衍生证券违约损失的预期成本的基础。为了简化我们的讨论，在这里采用了独立性假设。即在无违约世界中影响衍生证券价值的变量与影响对方发生违约可能性和影响违约事件中收回率的变量之间是相互独立的。并且假设公司零息票收益率曲线应该是针对这样的一些债券，即在违约情况下，该债券的信用等级与期权的信用等级相同。
一、债券的信用风险
从前面的分析中我们知道
V(x,r,t)?F(r,t)H(x,t)
其中x是与违约相关的一个变量，在以公司价值估价风险债券时其为公司价值A；而在以违约风险估价风险债券时其为违约风险q。V(x,r,t)为风险债券价格；而F(r,t)为与风险债券具有相同期限的无风险债券价格（通常用国债代替）。按照我们惯用的符号表示法，用 y表示风险债券的到期收益率，用 r 表示无风险债券的到期收益率。假设风险债券与无风险债券都是采用贴现销售的到期本息为1元的零息票债券，则有：
F(r,T)?De?r(T?t)
并且
V(x,r,T)?De?y(T?t)
得到
e?y(T?t)H(x,t)??r(T?t)?e?(y?r)(T?t)
e一般地，y?r，因此V(x,r,t)?F(r,t)。我们可以推断，如果不考虑对预期违约损失要求额外的补偿，那么风险债券的较低价格应该恰好补偿债券持有人的预期违约损失。这意味着当前风险债券的预期违约损失价值等于F(r,t)?V(x,r,t)，所以预期的风险债券的违约损失与无风险债券价值的比例为：
F(r,t)?V(x,r,t)?1?H(x,t)?1?e?(y?r)(T?t)
F(r,t)
二、期权价格的信用风险调整
考虑由与风险债券具有相同信用评级公司发行的期限为T的欧式期权。设：f*为考虑了违约风险的期权的价值；f为类似的无违约风险的期权的价值。这两个变量之间的关系为：
f*?fV(x,r,t)?fH(x,t)?fe?(y?r)(T?t)
F(r,t)由于我们假设在违约事件中债券的等级与衍生证券相同，当违约发生时，债券的违约风险与无风险价值的比例与期权的违约风险与无风险价值的比例相同。
另外我们还假设违约损失独立于无违约世界中决定期权和债券价值的那些市场变量的行为。因此，对于所有这些实际市场变量而言，预期的有违约风险价值与无违约风险价值的比例都是相同的，期权和债券也一定是相同的。
信用风险的调整准则说明了当我们贴现衍生证券时应该采用“有风险”的贴现率y 而不是无风险的贴现率r。因此，在对风险衍生证券进行贴现时，我们应该采用有风险利率替代无风险利率，但在确定风险中性世界中的期望收益率时，我们还是应该采用无风险利率进行贴现。
违约风险对美式期权价格相应的影响小于对类似欧式期权价格的影响。因为提前执行缩短了美式期权的寿命，从而也减少了违约损失。具有违约风险的美式期权肯定要比类似的无违约风险的美式期权提前执行。
三、既可能是资产也可能是负债衍生证券的信用风险调整
对于互换和远期合约这些可能既是资产也可能是负债的衍生证券信用风险的影响又会是怎样？为简化起见，假设违约只出现在t1，t2，t3，?.，tn这些时刻。设从t到ti之间预期的有违约风险价值与无违约风险价值的比例H(ti)为：
H(ti)?e?(y?r)(ti?t)
定义ui为ti时刻预期违约损失与无违约价值之间的比例。因为违约只能发生在t1，t2，t3，?.，tn时刻，所以：
u1?1?H(t1) u2?H(t2)?H(t1)
?un?H(tn)?H(tn?1)定义vi为在ti时刻结清暴露的衍生证券在t时刻的价值，即该衍生证券在ti时刻的损益状况为max(f,0)。独立性假设意味着ti时刻的预期违约损失的现值等于在ti时刻的预期暴露的现值乘以在该时刻的预期损失比例，这就是uivi。全部的预期损失则确定为：
u3?H(t3)?H(t2)f?f*??uivi
i?1n以上是以离散时间发生违约事件为假设得出的公式。如果允许违约在任何时刻都可能发生，则对应的连续时间公式为：
f?f*??u(t)v(t)dt （12.13）
0T其中
u(t)??H(x,t) ?t并且v(t)为在t时刻衍生证券损益暴露的价值。可以证明：
u(t)?e?(y?r)t?(t)
其中?(t)是由y零息票收益率曲线计算的t年期瞬时远期利率的变化值。
第六节 信用衍生证券
随着信用风险定价技术的发展，对于任何损益状况的分布的估计已成为可能，从而推动了大量信用衍生证券的出现。所谓信用衍生证券就是与信用风险相关联的衍生证券，其类型主要有两类：一类是与违约事件相关联的信用衍生证券；另一类是与信用变化相关联的衍生证券。后者并不需要违约事件的发生，而前者则需要违约事件的发生。
一、违约触发的衍生工具
最基本的信用衍生证券是那些在发行公司或发行国家的违约事件中将获得收益的类型。从技术角度上来看，违约的定义是任何不遵从合约规定的行为。因此，息票哪怕只是迟支付了一天也会被认为是一种违约事件。
(一)违约互换
在违约互换中交易中的A方将在规定的时间内向交易中的B方支付利息直到基本标的证券违约为止。出现违约事项，B方将向A方支付本金。这是信用衍生证券的最简单例子，并且可以被视为是A方向B方购买基本标的证券的保险。
(二)信用违约互换
与上述衍生证券非常相像的是信用违约互换，在信用违约互换交易中 A 方在基本标的证券违约前须向 B方支付LIBOR 加上一个固定的保险费，而 B 方在整个基本标的证券有效期内都须向 A 方支付 LIBOR 。在这种情况下不存在本金的交换。但同样 A 只是买进了对抗违约的保险。
(三)有限追索权票据
有限追索权票据具有比上述合约较少的违约风险暴露。典型的情况是存在对二种基本标的证券的风险暴露。当两种证券均未出现违约的情况下利息是按 r1 的利率支付的。当出现第一种证券违约，利息降低为按 r2 利率支付，如果第二种证券再出现违约，利息就又降低至按 r3 利率支付。
(四)资产交换
A 方拥有一风险债券, 但希望将信用风险互换。他将债券给 B 方，因此他将获得 LIBOR 加上某一适当利差的利息支付。B将在其后的债券有效期限内支付这个利息，即使发生违约仍须如此。违约风险从 A 方转到了 B 方。这是一种资产互换。这种合约还可通过包括看涨期权或看跌期权条款使其变得更复杂。
二、收益率差价衍生工具
第二类信用衍生工具不需要违约来触发支付，它只要有以下两类： （一）违约看涨期权和违约看跌期权
违约看涨期权和违约看跌期权分别是购买和出售基本标的证券的权利。很明显，我们已掌握的许多理论都适用这类问题。但关键的是违约风险必须以某种方式被包括在内。与基本违约期权相类似的是期权为你提供了用一种债券交换另一种债券的权利。举例来说，期权可能给你提供用风险债券交换数量较少的无风险债券的权利。无风险债券与风险债券的交换比例会在合约开始时就被规定。用V表示风险债券的价值，F表示五风险债券的价值，如果两种债券都是零息票债券，那么这种交换的期权盈亏将具有下列形式
max(kF?V,0)
其中k是预先规定的比例。