d???V?Odt (12.5) 这是风险债券的突然损失造成的，对照而言其他的项很小。 取数学期望并省略dt的高阶项，可得：
?V?V/?r?F12?2V12?V/?r?2Fd??(??w?w?qV)dt。 22?t?F/?r?t2?r2?F/?r?r由于风险源相互抵消，?在短时间dt内只能获得无风险报酬，即：d??r?dt。这
样我们就可得到V遵循的偏微分方程：
?V12?2V?F12?2F?V/?r?w?(rF??w)?(r?q)V (12.6) ?t2?r2?t2?r2?F/?r注意到价差已经被加到贴现项上。
这个模型是最基本的瞬态违约风险模型。它给出了一个无风险债券与一个风险债券之间一种非常简单的关系。在估计中只有一个新的参数q。
要了解这个模型是否是一个市场期望的现实模型，我们简要地来考察一下风险债券的估价。如果上面的模型是一个不错的模型，具有固定的q，那么我们将发现无风险债券利率与风险债券价值之间的一种非常简单的关系。要得到风险债券价值只需下列步骤：
1. 找到风险债券中每个现金流的到期无风险收益率； 2. 对这些收益率都加一个固定价差q；
3. 运用新的收益率计算每个现金流的现值； 4. 把所有现值求和。
相反地，相同过程可用于从风险债券的市场价格确定q值：这将是隐含违约风险。 在这个简单模型中我们假设瞬态违约风险自始至终是不变的。然而，如果我们相信风险债券的市场价格，这个假设是不正确的：市场价格与一个固定的q不一致。这将是一会儿我们将看到建立随机违约风险模型的原因。尽管如此，在某种意义上假设固定q代表了市场的观点(并且实际中这种固定q模型也常被使用)。
二、违约风险的期限结构
假定一家公司发行不同到期日的风险债券。我们可以从这些债券的市场价格推断人们所认为的违约风险是如何取决于时间的。为了使情况尽可能地简单，让我们假定公司发行的是零息票债券并且如果发生一种债券违约所有其他的流通在外的债券也同样构成违约并且没有收回率。
如果违约风险是依赖时间的，q(t)，并且与即期利率不相关，而且不考虑违约风险溢酬，那么风险债券的价值就是：
Fe?t?Tq(?)d?
如果风险债券的市场价值为V*，那么我们可以写作
Fe?t?Tq(?)d??V*
?Tt?F?q(?)d??log?*??V?对其求T的微分，就得到目前市场对违约风险的观点。对于像这样的违约风险率，图12.1给出了一个似乎合理的结构。这张图显示最初违约风险较小，随后上升到最大值，然
后再下降。很明显公司被预期至少能存在更长一点时间，而从长期来看它将要么已经结束要么变得非常成功。如果曲线下面的面积是有限的，那么存在着公司决不会破产的有限概率。
图12.1 依赖于时间的违约风险率的结构。
三、随机的违约风险
为了“改进”违约风险q固定的模型，并使其与市场价格相一致，现在我们考虑一个违约的瞬态概率本身是随机的模型。
我们假定违约风险遵循如下的随机过程：
dq??(r,q,t)dt??(r,q,t)dZ1，
由此可见违约风险受利率的影响。而利率所遵循的随机过程仍然为：
dr?u(r,t)dt?w(r,t)dZ2。
为了对我们的风险零息票债券进行估价，我们构造一个资产组合，它是由一单位价值为V(r,q,t)的风险债券多头，和
?V/?r单位价值为F(r,t)的无风险债券空头组成：
?F/?r??V(r,q,t)??V/?rF(r,t)
?F/?r在接下来的小时间段dt中，风险债券可能违约也可能无违约，违约概率qdt。
首先，假定风险债券无违约，其概率为(1-qdt)。在这种情况下，dt期间的资产组合价值变动为：
??V12?2V?2V12?2V?F?V/?r12?V/?r?2F??Vd????w??w?????wdt?dq222??r?r?q2?q?t?F/?r2?F/?r?r??q??t2 （12.7） 其中?为dZ1和dZ2的相关系数。
另一方面，如果债券违约，其概率为qdt，则资产组合价值变动为：
d???V?Odt （12.8）
这是风险债券的突然损失造成的，对比照而言其他项都很小。 取数学期望并省略dt的高阶项，可得：
?V12?2V?2V12?2V?F12?2F?V/?r?V?w??w????(?w)???(r?q)V222?t2?r?r?q2?q?t2?r?F/?r?q
(12.9)
如果债券为零息票债券，偿还本金为D，则这个方程具有的最终条件是V(r, q, t) = D。 方程(12.9)显示即期利率r与违约风险q之间的类似关系。该方程对这两个变量是非常对称的，唯一的不同是在每个变量对模型的选择上。尤其是，等式右边包含了以r贴现并且还要以q贴现。这两个变量在信用风险方程中扮演着类似的角色。
检查这个结果，回到固定q的简单情况。在新结构中这种情况与 γ = δ = 0 等效。(12.9)的解很容易知道是
V?e?q(T?t)F(r,t)
这跟前面的推断一样。如果γ和δ与r相互独立，相关系数ρ为零，我们可以将（12.9）的解写作：
V(r,q,t) = F(r,t)H(q,t) （12.10） 其中H满足
?H12?2H?H ?????qH。
?t2?q2?q其最终条件为H(q,T)?1
在这种特殊但重要的情况下，违约风险从债券定价中分离出来。
四、具有正回收率的模型
在违约发生后，通常存在着一些支付，并非全部金额都损失。在由穆迪公司根据历史数据制作的表12.1中显示了按照债务的优先级得到的回收率均值和标准差。这些数字强调回收率比率本身是非常不确定的这样一种事实。我们可以如何为正的回收率建立模型呢？
表12.1 回收比率。
类别 优先担保债券 优先无担保债券 优先次级债券 次级债券 初级次级债券 资料来源：穆迪公司
均值(%) 53.80 51.13 38.52 32.74 17.09 标准差(%) 26.86 25.45 23.81 20.18 10.90
假定对于违约发生我们知道我们将获得一个G数量金额。这将改变偏微分方程。要了解这一点我们回到方程(12.9)的推导上。如果不存在违约我们仍然有方程(12.7)。但是违约使方程(12.8)变成：
d???V?G?Odt
我们损失了债券但是得到G。取数学期望结果是：
?V12?2V?2V12?2V?F12?2F?V/?r?V?w2??w????(?w)???(r?q)V?qG 22?t2?r?r?q2?q?t2?r?F/?r?q现在你面临的困难是如何估计G，或者作为另一个随机变量为它建立模型。
五、对冲违约风险
在上面我们运用了无风险债券对冲即期利率的随机变动。我们是否可以在该组合中再引入另一个风险债券或多个风险债券来帮助对冲违约风险呢？
要这么做我们必须假定在一个债券上的违约自然而然地意味着在其他债券上的违约。 考虑对冲组合：
??V??F??1V1
其中V和V1是两种风险债券。
?V?V1?V/?q??r?r?V1/?q?V/?q选择?1?来消除违约风险，选择??来消除利率风险，通
?F/?r?V1/?q过与上面相似得分析我们可以得到：
?V?V1?F12?2V?2V1?2F12?2V?2V1??1???w(2??12??2)??(2??12)?t?t?t2?r?r?r2?q?q??w?(
?V?V1??1)?(r?1?q)V1?r?F?qG1?(r?q)V?qG?r?q?r?q第三节 信用度量术(CreditMetrics)
22
信用度量术是由JP Morgan公司和其他一些合作机构（美国银行、KMV、瑞士联合银行等）
于1997年推出的，旨在提供一种进行在险价值（VaR）度量的框架，用于诸如贷款和私募债券等非交易性资产的估计和风险计算。与第11章介绍的风险度量术类似，信用度量术寻求回答的问题是：“如果下一年是坏年份，在贷款（债券）和贷款组合（债券组合）上最多损失会有多少？”
由于贷款和私募债券不能公开交易，无法直接获得贷款的市场价值以及贷款在所关注期间内的波动率。但是，可以利用（1）贷款人的信用评级；（2）下一年信用评级发生变化的概率（转移矩阵）；（3）违约贷款的回收率；（4）债券市场的信用风险差价和收益率。这些能为非交易性贷款和债券计算出它们的价值和波动率，并计算出非交易贷款和债券及其组合的VaR。
一、信用评级
存在着许多对个别公司或国家编辑数据和估计违约可能性的信用评级机构。 他们中最著名的是标准普尔和穆迪公司。这些机构对公司指定一个信用评级或等级作为对他们信誉的一种估计。标准普尔的企业等级为AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC和违约。穆迪公司采用Aaa、Aa、A、Baa、Ba、B、Caa、Ca、C的等级。 这两个公司同样也具有在这些主要的分类之内的再细分等级（liner grades）。表12.2描述了穆迪公司的等级。
信用评级机构不断地搜集有关个别公司的数据，并将视信息而定按照规定的标准对一家
公司进行评级或重新评级。等级的改变被称为迁移，并对该公司发行的债券价格具有重大的影响。迁移到一个更高的等级将提高债券的价值和减少它的收益率，因为被认为违约的可能性减少了。
很明显在信用评级情形下风险债券的模型建立存在着两个阶段。首先，我们必须对公司从一个等级迁移到另一个等级建立模型，其次我们必须在债券定价中考虑这种迁移。
表12.2 穆迪公司评级的含义 等级 信誉 Aaa Aa A Baa Ba B Caa Ca C 最优质债券。 高质量债券。 具有许多有利的投资特征。 既无高度的保护也没有安全性的不足。 暂时安全性适当。 具有投机性元素。 信誉不佳。 高度投机性债券。 最低等级类债券。 风险程度 风险程度最小。利息支付受大量稳定的保证金保护。 保证金保护比Aaa低。 本金和利息的安全性适当。将来可能易受损害。 缺乏显著的投资特征。具有投机性特征。 将来的保障不足。 缺乏合意的投资特征。 可能违约或者本金或利息存在危险。 经常违约。 极其缺乏达到任何实际投资地位的机会。
二、信用评级变动
许多信用评级机构（如标准普尔公司、穆迪公司或KMV公司）会定期公布相应的信用转换矩阵。这些矩阵是对过去的评级公司发生信用等级变化的统计资料。表12.3中展示了一个例子。
表12.3 转换矩阵的一个例子 AAA AA A BBB BB B CCC 违约 AAA AA A BBB BB B CCC 违约 0.90829 0.08272 0.00736 0.00065 0.00066 0.00014 0.00006 0.00012 0.00665 0.90890 0.07692 0.00583 0.00064 0.00066 0.00029 0.00011 0.00092 0.02420 0.91305 0.05228 0.00678 0.00227 0.00009 0.00041 0.00042 0.00320 0.05878 0.87459 0.04964 0.01078 0.00110 0.00149 0.00039 0.00126 0.00644 0.07710 0.81159 0.08397 0.00970 0.00955 0.00044 0.00211 0.00361 0.00718 0.07961 0.80767 0.04992 0.04946 0.00127 0.00122 0.00423 0.01195 0.02690 0.11711 0.64479 0.19253 0 0 0 0 0 0 0 1 假设公司XYZ当前被标准普尔公司评为A级。它将仍然被评为A级的概率多大？现在它将被评为AA级甚至是AAA级，或者是违约级的概率多少？我们可以用一个一年时间期限的转换矩阵来表示这些概率。对该表的理解为，现在这家公司是被评为A级。在一年的时间中它将具有不同信用等级的概率可以从该表中对应信用等级为A的那行不同的列元素中得到。因此，评级为AAA的概率是0.092%、AA的概率是2.42%、A的概率是91.305%，等等。最大概率是没有迁移。该表可以被解释成是所有公司从一个等级向另一个等级迁移的概率表，也可以是公司XYZ从A等级之外的其他不同等级开始的迁移概率表，公司即使为违约等级年终也必须以某一等级结束。因此，每行的所有概率值之和必须为一。另外，一旦一家公司是处