第三节 函数的单调性与最值
[知识梳理]
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
[温馨提示] (1)函数的单调性只能在其定义域内讨论，所以求函
数单调区间必须先求函数的定义域．
(2)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．如
1
函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数．如
1
函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N?M.如
函数f(x)＝2x＋1在(1，＋∞)上是单调递增函数，但它的单调递增区间是(－∞，＋∞)．
2．函数的最值
[小题速练]
1．下列函数中，在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A．y＝x 1
C．y＝x B．y＝lnx D．y＝2x
[解析] 对于选项A，函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数；对于选项B，函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数；对于选项C，函数y＝1
x在(0，＋∞)上是减函数；对于选项
D，函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数．故选C. [答案] C
x
2．f(x)＝在( )
1－x
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
x1
[解析] f(x)的定义域为{x|x≠1}．又f(x)＝＝－1，根据
1－x1－x1
函数y＝－x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数．
[答案] C
3．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )
A．a＝－2 C．a≤－2
B．a＝2 D．a≥2
?a－1?
[解析] 由－3≥1，得a≤－2.
[答案] C
4．函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．
[解析] f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lgu在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减．
[答案] (－∞，0)
x
5．(2016·北京卷)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
x－1x1
[解析] 易得f(x)＝＝1＋，
x－1x－1
当x≥2时，x－1>0，易知f(x)在[2，＋∞)是减函数， 1
∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.
2－1[答案] 2
考点一 函数单调性的判断——冷考点
ax
判断函数f(x)＝2(其中a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．
x－1[解] 解法一(定义法)：设－1 x1－1x22－1 2 ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2＝ 2?x2－1??x－1?12 a?x2－x1??x1x2＋1?＝. 2?x2－1??x－1?12∵－1 22 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x2－1)>0. 因此当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 解法二(导数法)： a?x2－1?－2ax2－a?x2＋1?f ′(x)＝＝2. ?x2－1?2?x－1?2又a>0，所以f ′(x)<0， 所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 判断函数单调性的方法 (1)定义法：设区间D为f(x)的定义域或其子区间． (2)导数法：求导→判断导数正负→得结论. [跟踪演练] a 用定义法讨论函数f(x)＝x＋x(a>0)的单调性．