C．(－1,2) D．(－2,1)
[解析] ∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2 [答案] D 抽象函数单调性的再研究 素养解读：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比f?x1?较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作 f?x2?x1适当的变形：如x1＝x2·x或x1＝x2＋x1－x2等． 2 已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1； ②当x>0时，f(x)>－1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数． (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4. [切入点] (1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1对任意x、y都成立，通过赋值所求联系起来，创造使用定义证明单调性的条件．(2)将所求不等式转化为函数值间的关系，从而利用单调性脱去“f”，解关于x的不等式． [关键点] (1)准确赋值；(2)将不等式右边的4转化为函数值，从而将不等式转化为函数值关系． 抽象函数与不等式问题的答题策略 抽象函数单调性证明只能用定义证明． 已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时， f(x)>0. (1)求证：f(x)是偶函数； (2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数． [证明] (1)因对定义域内的任意x1、x2都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 令x1＝x，x2＝－1， 则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)． 又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)． 再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0， 于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数． ?x2???x2?? ?＝f(x1)－?f?x1?＋f???(2)设0 ? 1? ??1?? ?x2? ＝－f?x?， ?1? ?x2?x2由于0 ?1?1 故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 课时跟踪训练(六) [基础巩固] 一、选择题 1．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) 1 A．y＝ 1－xC．y＝ln(x＋1) B．y＝cosx D．y＝2－x 1 [解析] 函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数 1－x ?1? y＝cosx在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y＝2＝?2? ?? －x x 在(－1,1)上是减函数，故选D. [答案] D 2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为 ( ) A．(－∞，1] C．(－∞，－1] B．[3，＋∞) D．[1，＋∞) [解析] 设t＝x2－2x－3，由t≥0， 即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． [答案] B 3．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是( ) 1 A．f(x)＝2 C．f(x)＝2x B．f(x)＝x2－4x＋4 D．f(x)＝log1 x 2 [解析] (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0等价于x1－x2与f(x1)－f(x2)正负号相同，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．显然只有函数f(x)＝2x符合，故选C. [答案] C 1 4．函数f(x)＝的最大值是( ) 1－x?1－x? 4A.5 3C.4 14 [解析] 由f(x)＝1?23≤3， ? ?x－?＋ 2?4?4 则[f(x)]max＝3，故选D. [答案] D 5B.4 4D.3 5．(2017·东北三校联考(一))设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的最小值为( ) A．－2 C．1 B．－1 D．2 a－2[解析] 由题意得≤2，解得a≥－2，所以实数a的最小值 －2为－2. [答案] A 6．(2017·德州市模拟)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f?x?＋f?－x?f(1)＝0，则不等式>0的解集为( ) x A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) [解析] 因为函数f(x)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，且f(－1)＝0. f?x?＋f?－x?2f?x?f?x? 由>0，可得x>0，即x>0， x