当x<0时，f(x)<0，即f(x)
f?x?＋f?－x?
故不等式>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． x[答案] A 二、填空题
117．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是3，则x－1a＋b＝________.
[解析] 易知f(x)在[a，b]上为减函数，
?f?a?＝1，∴?1?f?b?＝3，
[答案] 6
?即?11?b－1＝3，
1
＝1，a－1
??a＝2，∴?∴a＋b＝6. ??b＝4.
8．函数y＝log1 |x－3|的单调递减区间是________．
2
[解析] 函数的定义域为{x|x≠3}．令u＝|x－3|，则在(－∞，3)1
上u为x的减函数，在(3，＋∞)上u为x的增函数．又∵0<2<1，∴在区间(3，＋∞)上，y为x的减函数．
[答案] (3，＋∞)
ax＋1
9．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则
x＋2实数a的取值范围是________．
ax＋1a?x＋2?＋1－2a
[解析] 解法一：f(x)＝＝
x＋2x＋21－2a
＝＋a. x＋2
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－ x1＋2x2＋2?1－2a??x2－x1?＝. ?x1＋2??x2＋2? ax＋1 ∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的， x＋2∴f(x1)－f(x2)<0. ∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0， 1 ∴1－2a<0，a>2， ?1???. ，＋∞即实数a的取值范围是2?? a?x＋2?＋1－2a1－2a 解法二：f(x)＝＝a＋， x＋2x＋2∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 1 ∴1－2a<0，∴a>2. ?1??[答案] 2，＋∞? ?? 三、解答题 1 10．已知函数f(x)＝a－|x|. (1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． [解] (1)证明：当x∈(0，＋∞)时， 1 f(x)＝a－x， 设0 1??1?11x2－x1?????a－a－f(x2)－f(x1)＝x2?－?x1?＝x1－x2＝x1x2>0， ?所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 11 (2)由题意a－x<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋x， 则a h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)?2－xx?. ?12?因为1 所以x1－x2<0，x1x2>1， 1 所以2－xx>0， 12所以h(x1) 所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故a≤h(1)，即a≤3， 所以实数a的取值范围是(－∞，3]． [能力提升] ???3a－1?x＋4a，x≤1， 11．已知f(x)＝?是(－∞，＋∞)上的减函 ?logx，x>1.?a 数，那么a的取值范围是( ) A．(0,1) ?11? C.?7，3? ?? 1?? ?B.0，3? ?? ?1??? ，1D.7?? [解析] 据题意要使原函数在定义域R上为减函数，要满足3a－1<0，且0 ?11? 范围为?7，3?，故选C. ?? [答案] C f?x? 12．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝x在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间13 I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝2x2－x＋2是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( ) A．[1，＋∞) C．[0,1] B．[0，3] D．[1，3] 123 [解析] 因为函数f(x)＝2x－x＋2的对称轴为x＝1，所以函数yf?x?13 ＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，x＝2x－1＋2x，2 1313x－3 令g(x)＝2x－1＋2x(x≥1)，则g′(x)＝2－2x2＝2x2， f?x?13 由g′(x)≤0得1≤x≤3，即函数x＝2x－1＋2x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，3]． [答案] D ??a，a≤b，13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?设函数 ?b，a>b.? f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． [解析] 依据题意，作出函数h(x)的图象，如图 由图可知，当x＝2时，h(x)取得最大值1. [答案] 1 14．已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________． [解析] 因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得， f(x2－4) 15．(2018·江苏徐州期中)已知a∈R，函数f(x)＝x|x－a|. (1)当a＝2时，写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)当a>2时，求函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值． ??x?x－2?，x≥2，[解] (1)当a＝2时， f(x)＝x|x－2|＝? ?x?2－x?，x<2.? 由图象可知，y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)． (2)因为a>2，x∈[1,2]， a?a? 所以f(x)＝x(a－x)＝－x2＋ax＝－?x－2?2＋4. ??a3 当1<2≤2，即2 当2>2，即a>3时， f(x)min＝f(1)＝a－1. 2