?x1－x2??2x1x2－1?＝. 2x1x2
∵1≤x1 解法二：当x≥1时，f ′(x)＝1－2x2>0，∴f(x)在[1，＋∞)单调递增． 7 ∴f(x)在[1，＋∞)的最小值为f(1)＝2. x2＋2x＋a2 ②在区间[1，＋∞)上， f(x)＝>0恒成立?x＋2x＋a>0x恒成立． 设g(x)＝x2＋2x＋a，则g(x)在[1，＋∞)上的最小值φ(a)>0. g(x)＝(x＋1)2＋a－1， 对称轴为x＝－1，且开口向上， 所以g(x)在[1，＋∞)上递增， 所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝3＋a， 由3＋a>0，得a>－3. 7 [答案] (1)－3 1 (2)①2 ②a>－3 (1)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数， 则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． (2)分段函数的值域是每一段上值域的并集． (3)恒成立问题通常转化为函数的最值问题． [跟踪演练] 1．函数y＝x＋x－1的最小值为________． [解析] 函数的定义域为{x|x≥1}，又y＝x＋x－1在[1，＋∞)上单调递增，∴y≥1，即函数的最小值为1. [答案] 1 ?1，x≤－1， 2．函数f(x)＝?x ?－?x－1?2＋2，x>－1 的最大值为________． 1 [解析] 当x≤－1时，函数f(x)＝x为减函数，所以f(x)在x＝－1处取得最小值，此时－1≤f(x)<0；当x>－1时，易知函数f(x)＝－(x－1)2＋2在x＝1处取得最大值，为f(1)＝2.故函数f(x)的最大值为2. [答案] 2 考点四 函数单调性应用——热考点 角度解读：函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，利用单调性求最值，比较函数值的大小，解不等式求参数．考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 角度1：比较大小 (2017·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对 ?1? 称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f?－2?，b ?? ＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( ) A．c>a>b C．a>c>b B．c>b>a D．b>a>c ? ? ?? ?1??5? [解析] 因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f?－2?＝f?2?. 由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减． ?5?5 ∵1<2<2 ?? [答案] D 角度2：解函数不等式 ??1?? 已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f??x?? ???? 的取值范围是( ) A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1) B．(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) ??1?? [解析] 由f(x)为R上的减函数且f??x?? ???? 1?????>1，得??x??x≠0， ??|x|<1，即? ?x≠0.? ∴－1 角度3：利用函数的单调性求参数 2??－x＋4x，x≤4， 设函数f(x)＝?若函数y＝f(x)在区间(a， ?log2x，x>4.? a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1] C．[4，＋∞) B．[1,4] D．(－∞，1]∪[4，＋∞) [解析] 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D. [答案] D (1)单调性定义的两种变式 设任意x1，x2∈[a，b]，且x1 f?x1?－f?x2? ①>0(<0)?f(x)在[a，b]上是增(减)函数．②(x1－x2)[f(x1) x1－x2 －f(x2)]>0(<0)?f(x)在[a，b]上是增(减)函数 (2)函数单调性应用的常见类型及方法： ①比较大小 比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． ②解不等式 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． ③利用单调性求参数 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． [跟踪演练] 1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( ) ?1??A.－4，＋∞? ???1??C.－4，0? ?? ?1? ?B.－4，＋∞? ???1??D.－4，0? ?? [解析] 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 1 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－a， 因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 11 所以a<0，且－a≥4，解得0>a≥－4. 1 综上所述得－4≤a≤0. [答案] D 3??x，x≤0， 2．已知函数f(x)＝?若f(2－x2)>f(x)，则实数x ??ln?x＋1?，x>0， 的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)