??2a－4，2
∴f(x)min＝?
?a－1，a>3.?
a??
16．已知函数f(x)＝lg?x＋x－2?，其中a是大于0的常数．
??(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． x2－2x＋aa
[解] (1)由x＋x－2>0，得>0， x
a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，
01＋1－a}． a
(2)设g(x)＝x＋x－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
2
ax－a
g′(x)＝1－x2＝x2>0恒成立，
a
∴g(x)＝x＋x－2在[2，＋∞)上是增函数． a???∴f(x)＝lgx＋x－2?在[2，＋∞)上是增函数． ??
a??a??∴f(x)＝lgx＋x－2在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg2. ??(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， a
即x＋x－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立． ∴a>3x－x2，
3?29?
而h(x)＝3x－x＝－?x－2?＋4在x∈[2，＋∞)上是减函数，
??
2
∴h(x)max＝h(2)＝2.
∴a>2.
[延伸拓展]
?x1?
已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f?x?＝f(x1)－f(x2)，
?2?
且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)， x1且x1>x2，则x>1，
2
?x1?
由于当x>1时，f(x)<0，所以f?x?<0，
?2?
即f(x1)－f(x2)<0， 因此f(x1) 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． ?x1? 由f?x?＝f(x1)－f(x2)得， ?2? ?9? f?3?＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1， ?? 所以f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.