高三文科数学一轮复习第三节函数的单调性与最值(2)

[解] 函数的定义域为{x|x≠0}．任取x1，x2∈{x|x≠0}，且x1

?则f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2－x＝＝(x1－x2)1－xx?. x·x?12?1212

a

令x1＝x2＝x0,1－x2＝0可得到x0＝±a，这样就把f(x)的定义域分

0

为(－∞，－a]，[－a，0)，(0，a]，[a，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．

若0aa

所以x1x2－a<0.所以f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2－x＝

12

?x1－x2??x1x2－a?

>0， x1·x2

即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，a]上单调递减．

同理可得，f(x)在[a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a]上单调递增，在[－a，0)上单调递减．

故函数f(x)在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

考点二 求函数的单调区间——常考点

(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区

间是( )

A．(－∞，－2) C．(1，＋∞)

B．(－∞，1) D．(4，＋∞)

(2)函数y＝|x2－4x＋3|的单调递增区间是________． [思路引导] (1)先求定义域，再利用复合函数单调性来求． (2)作出y＝|x2－4x＋3|的图象．

[解析] (1)由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2

－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.

(2)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．由图可知，函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)．

[答案] (1)D (2)[1,2]，[3，＋∞)

[拓展探究] (1)在本例(1)中若将f(x)＝ln(x2－2x－8)改为y＝loga(x2－2x－8)，则其单调递增区间为________________．

(2)若将本例(2)中的函数变为“y＝x2－4|x|＋3”，则结果如何？ [解析] (2)作出函数y＝x2－4|x|＋3的图象，如图所示．由图可知，函数的增区间为[－2,0]，[2，＋∞)．

[答案] (1)当01

时，单调递增区间为(4，＋∞) (2)[－2,0]，[2，＋∞)

确定函数单调区间的4种方法

[跟踪演练]

1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( ) A．(－∞，0) C．[0，＋∞) [解析] y＝|x|(1－x)

1????0，B.2? ?

?1?D.?2，＋∞? ?

?

??x?1－x?，x≥0，＝? ??－x?1－x?，x<0

2?－x＋x，x≥0，?＝?2 ?x－x，x<0，?

1?21?

?x－2?＋，x≥0，?－?4??＝?1?1?

?x－?2－，x<0.???2?4

画出函数的草图，如图．

1??

?由图易知原函数在0，2?上单调递增，故选B. ??[答案] B

2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y＝log1 (－x2＋x＋6)的

2

单调增区间为( )

?1?

?A.2，3? ??

1??

?B.－2，2? ??

?1??D.2，＋∞? ??

C．(－2,3)

[解析] 由－x2＋x＋6>0，得－2

2

调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的减区间．

利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的减

?1??区间为2，3?，故选A. ??

[答案] A

考点三 利用单调性求最值——常考点 (1)(2017·丽水一模)已知函数

x，x>1，?log1

f(x)＝?3

?－x2＋2x，x≤1，

则

f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________．

x2＋2x＋a

(2)已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)． x1

①当a＝2时，求函数f(x)的最小值；

②若对任意x∈[1，＋∞), f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． [解析]

1 x，x>1，?log3

(1)①由于f(x)＝?

?－x2＋2x，x≤1，

所以f(3)＝log1 3＝－1，

3

则f(f(3))＝f(－1)＝－3，

②当x>1时，f(x)＝log1 x是减函数，得f(x)<0，

3

当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.

11

(2)①解法一：当a＝2时， f(x)＝x＋2x＋2， 任取1≤x1

1??1

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋?2x－2x?

?12?