yx?1?4yy?42?1y4?1y?1，
得
yx?1的取值范围为??1,1?．
第五、解题过程的第四次反思．
（1）y做分母，要不要讨论y?0的情况？分情况讨论是不是必要的？
（y做分母不是题目本身就有的，讨论是一种办法，但不是好办法，改分母缩小为分子放大，便可以避免分母为0了）
（2）要不要验证不等式取等号? 解法8 把x?y24代入
yx?1，有
2yx?1?4yy?42?y?4y?42?1，
yx?1等号当y??2，从而x?1时等式成立，得
的取值范围为??1,1?．
第六、解题过程的第五次反思．（命题背景的揭示）
（1）切线斜率背景：（数形结合）y2?4x的几何意义是抛物线，
yx?1?y?0x???1?的
几何意义是抛物线上的点P?x,y?与点MM??1,0?的斜率k，而k取最值的几何意义是过点
??1,0?作抛物线切线的斜率．这体现了题目的一般性．
本例还有特殊性，那就是点M??1,0?恰好在准线x??1上，如图4
yx?1PiAiPiBi?．
从更关注直线转移到更关注抛物线，你能对题目产生什么新的认识？
x?1是抛物线上的点P?x,y?到准线的距离，它等于抛物线上的点P?x,y?到焦点的
2距离，由抛物线的定义知y?4x等价于（4x??x?1???x?1?）
22 y??x?1??x?1．
22由此可以得出新的解法． （2）抛物线背景
解法9 （抛物线的定义）易知抛物线的焦点为F?1,0?，准线为x??1，由抛物线的定义知y2?4x等价于
2y??x?1??x?1， 图4
22有
yx?1?y??x?1?2x?1yx?1?1，（点到直线间的距离，垂线最短）
yx?1当x?1,y??2时，可以分别取到最大值１、最小值－１，故的取值范围为
??1,1?．
第七、解题过程的第六次反思．
抛物线背景的揭示，使我们可以获得消元法的新处理 解法10 （抛物线的定义）由4x??x?1???x?1?有
yx?122??x?1?yx?12??x?1?2x?1?x?1x?1?1
yx?1当x?1,y??2时，可以分别取到最大值１、最小值－１，故的取值范围为
??1,1?．
解法11 （抛物线的参数方程）设y?2t，则x?t，有
yx?12tt?122 ??t?1t?122?1，
yyx?1当t?1，即x?1,y??2时，取值范围为??1,1?．
2x?1可以分别取到最大值１、最小值－１，故的
领悟 题目由一个等式去确定一个不等式．可以从结论出发也可以从条件出发，可以有代数的视角也可以有几何的视角，可以扩元、消元也可以保元．没有思路的时候，要努力获得思路．有了初步思路的时候，要学会反思，通过反思学会解题．
第10招：模式识别．（参见文[4]） （1）模式识别的基本含义．
①在学习数学的过程中，所积累的知识和经验经过加工会得出一些有长久保存价值或基本重要性的典型模式与重要类型，我们称为解题基本模式，简称模式．典型结构与重要类型常常是问题的深层结构．
②当我们遇到一个新问题时，首先辨认它属于已经掌握的哪个基本模式，然后检索出相应的解题方法来解决，这是数学解题中的基本思考，也是解高考题的重要策略，我们叫做模式识别．
③拿到一道高考题题，在理解题意后，立即思考问题属于哪一学科、哪一章节？与这一章节的哪个类型比较接近？解决这个类型有哪些方法？哪个方法可以首先拿来试用？这一想，下手的地方就有了，前进的方向也大体确定了．这就是高考解题中的模式识别．
④运用模式识别可以简捷回答解题中的两个基本问题，从何处下手？向何方前进？我们说，就从辨认题型模式入手，就向着提取相应方法、使用相应方法解题的方向前进． （2）模式识别在求解高考题中的具体化．
对中学生的高考解题来说，“模式识别”就是将新的高考试题化归为已经解决的题．有两个具体的途径：
① 化归为课堂上已经解过的题．
理由1：因为课堂和课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导．离开了课堂和课本，学生还能从哪里找到解题依据、解题方法、解题体验？还能从哪里找到解题灵感的撞针？高考解题一定要抓住“课堂和课本”这个根本．
理由2：因为课本是高考命题的基本依据．有的试题直接取自教材，或为原题、或为类题；有的试题是课本概念、例题、习题的改编；有的试题是教材中的几个题目、几种方法的串联、并联、综合与开拓；少量难题也是按照课本内容设计的，在综合性、灵活性上提出较高要求．按照高考怎样出题来处理高考怎样解题应是顺理成章的．
②化归为往年的高考题（或其变形）． （4）模式识别的层次．
解题的模式识别通常有三个层次．
①直接用．拿到一道题目，经过辨认，它已属于某个基本模式，于是提取该模式的相应方法来解决．（容易题）
②转化用．遇到稍新、稍难一点的题目，可能不直接属于某个基本模式，但将条件或结论作变形后就属于基本模式．（中档题）
③综合用．遇到更新、更难的题目，变形也不属于某个基本模式，那么，一方面可以将题目加以分解，使每一个子问题成为基本模式；另方面可以将基本模式加以深化或重组，用整合过的模式来解决新问题．（难题）
22例5 已知抛物线y?2px?p?0?的准线与圆x?y?6x?7?0相切，则p的值为
2(A)
12 (B) 1 (C) 2 (D) 4
（2010年高考数学陕西省理科第8题、5分）
例6 观察下列等式：1?2?3，1?2?3?6，1?2?3?4?10，?，根据上述规律，第五个等式为 ． ．．．．．
（2010年高考数学陕西省理科第12题、5分）
例7 (几何证明选做题)如图5，已知Rt?ABC的两条直角边4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，AC,BC的长分别为3cm，则
BDDA332333233332? ．
（2010年高考数学陕西省理科第15题B、5分） 图5
以上3题直接来源于课本．
例8 如图6，三定点A?2,1?,B?0,?1?,C??2,1?；三动点
D,E,M满足
??????????????????????????AD?tAB,BE?tBC,DM?tDE,t?[0,1]．
（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程． 图6 （2006年高考数学陕西省理科第21题、12分）（参见文[5]）
讲解 在汽车制造业中，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出了一套利用伯恩斯坦多项式的电子计算机设计汽车车身的数学方法，本题的背景正是二次贝齐尔曲线，点M的轨迹是一段抛物线．据说工人在制造飞机机翼时，正是在M点的地方打上铆钉，使得机翼的纵截面为抛物线． A虽然本题有伯恩斯坦多项式的高等背景，但求解第（Ⅱ）问只
P需三次应用当年的课本结论：若OA，OB不共线，????????????????????AP?tA?B?t?,R则OP??1?t?OA?tOB．（如图7） B
O因此，不管问题的原始来源如何，对高考解题来说，化归为课
堂上已经解过的题是明智和可行的． 图7
例9 真分数不等式．
真分数不等式有生动的现实情景，有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造法等10
多种证明方法，可以作为一个不等式证明的基本模型．
题目 请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．
（1）糖水加糖变甜了．（糖水未饱和）
（2）某中学计划招收高一新生a人，使学生总数达到b人，这样高一新生所占比例为现准备高一扩招m人，则高一新生所占的比例变大了．
（3）盒中有白球和黑球共b个，其中白球a个，从中任取一个，取得白球的概率为若再加入白球m个，从中任取一个，则取得白球的概率增大了．
（４）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积和地板面积之比应不小于10%，且这个比值越大，采光越好．现将窗户面积和地板面积等积增加，则采光条件变好．
（５）某城市有一矩形广场，该广场为黄金矩形(它的宽与长的比为5：12)，现在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道．能否设计恰当的步行道的宽度，使矩形草坪仍为黄金矩形？
讲解 以“糖水加糖变甜了”为例．这是一个尽人皆知的生活事实，这里有数学道理吗？该用什么样的数学关系式来表示呢？
首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式．变甜、变咸所表达的是大小关系，记为
abab，
，
p1?p2．
这里用到了字母表示数的知识．
其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表达出来呢？这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设b克糖水里有a克糖（b?a?0），则
p1?ab,而p2？
这还没有把加糖反映出来，p2有待表示．再设加入m克糖（m?0），得 p2?a?mb?m,
ab?a?mb?m最后，“糖水加糖变甜了”就是
m?0，则
ab?a?mb?m．于是得到一个真分数不等式：若b?a?0，
．
“糖水加糖”的情境本身有很大的拓展空间．比如
（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．由这一情境可得等比定理：
a1b1a2b2a3b3a1?a2?a3b1?b2?b3???．
（2）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式：对b1?a1?0，b2?a2?0，有
a1b1a2b2a1b1a1?a2b1?b2a2b2????．
（3）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较
a?a21?a1a2???与1? ??b1?b22?b1b2?的大小．
真分数不等式可以有分析法、综合法、反证法、放缩法、构造图形、构造定比分点、构
造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利于沟通知识和方法之间的联系． 很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求解高考题时可以化归为课堂和课本已解决过的问题，或化归为往届高考题．这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）．