这就清楚了，不等式①通过②可以等价于实数的平方为非负数，并且x?0的条件不是必要的（x??1就够了），书写也立即可以改写为基本不等式证法．
例11-1 设a6x6?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0??3x?1?，求a6?a5?a4 +a3?a2?a1?a0．
（1985年高考数学理科第二（4）题）
解法1 由二项式定理有
66(3x?1)?(1?3x)?66?C??3x?r6r?0r，
与已知条件作比较，得
ar?C6(?3)，
6r6r6(?3)??1?3??2．
6rr则 a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??Cr?0可见，最终归结为x?1的计算，这也可以由“差异分析”得出． 解法2 让我们将已知式与求值式逐项对齐，并进行差异分析
a6x?a5x?a4x?a3x?a2x?a1x?a0??3x?1?654326
a6 ? a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1?a0?？可见，已知式中的项有字母x，结论中的每一项都没有字母x．“没有字母x”是什么意思？可以理解为每一项的字母x都等于1，消除差异的办法应同时取
x?1,x?1,x?1,x?1,x?1,x?1,
65432所以取x?1代人已知式，得
a6?a5?a4?a3?a2?a1?a0??3?1?=32．
6评析 可见，在差异分析观点之下，取值x?1就不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想的具体实施．并且，这一经验积累，又与“特殊化”和“整体处理”的策略思想相通，可以用来处理很多数学问题，比如下面几道类似而又有变通的高考题（化归为往年的高考题）：
77例11-2 已知(1?2x)?a0?a1x??a2x2??a7x，那么a1?a2???a7?____．
（1989年高考数学第16题）
解 设f?x??(1?2x)，则
7f1? a1?a2???a7????f0??(1?2)7?1?2．? 填?2．
说明 我们在阅卷中发现，相当一部分考生令x?1得答案为?1，其实得到的是
? a0?a1?a2??a7?1?，
而所求的值，应再减去a0??1，从而
a1?a2???a7?2?．
究其原因，是考生一见题型很熟悉（如例11-1及课本相关习题中见过），没有认真看清题目的小变化，就匆匆作答，结果“会而不对”． 例11-3 若(2x?a3)的值为（ ）
2242343)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x，则(a0?a2?a4)?(a1?
（A）1 （B）?1 （C）0 （D）2 （1999年高考数学理科第8题）
解 设f?x??(2x?3)，则
224(a0?a2?a4)??a1?a3?= ?a0?a2?a4?a1?a3? ?a0?a2?a4?a1?a3?
?f?1?f??1??(2?43)(?2?43)
4． ?(4?3)?1．选（A）
说明 若把所求式展开为
a0?a2?a4?a1?a3?2a0a2?2a0a4?2a2a4?2a1a3，
22222会由于求不出平方而导致思路中断，这叫做高考解题的“策略性错误”．
例11-4 若(1?2x)2004?a0?a1x?a2x???a2004x22004(x?R)，则(a0?a1)?(a0?
(a0?a1)?(a0?a2)?(a0?a3)???(a0?a2004)?_____．(用数字作答)
（2004年高考数学天津卷理科第15题）
解 设f?x??(1?2x)2004，则
(a0?a1)?(a0?a2)?(a0?a3)???(a0?a2004)?2003f?0??f?1??2003?(1?2)?2004.52345例11-5 已知(1?x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x，则(a0?a2?a4)(a1?
2004
a3?a5)的值等于
．
（2007年高考数学安徽文科第12题）
解 分别取x??1，有
a0?a1?a2?a3?a4?a5?0， a0?a1?a2?a3?a4?a5?2，
5解得 a0?a2?a4?(， ?a1?a3?)a51?6所以 (a0?a2?a4)(a1?a3?a)． ??2565说明 若由已知求出ai，由结论化为
a0a1?a0a3?a0a5?a2a1?a2a3?a2a5?a4a1?a4a3?a4a5，
不是不可以计算，而是犯有高考解题的“策略性错误”．
例11-6 若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0，则
a1?a2?a3?a4?a5? ．(用数字作答)
(2008年高考数学福建卷理科第13题)
这与例11-2类似．
例11-7 若(1?2x)2009?a0?a1x???a2009x2009(x?R)，则为（ ）． （A）2 （B）0 （C）?1 (D) ?2 （2009年高考数学陕西卷文、理科第6题）
解 设f?x???1?2x?2009a12?a222???a200922009的值
，则
f?0??a0?1，
f?a12a2009a1a2?1??a??????0， 0?220092222??a222相减 ????a200922009?1??f???f?0??0?1??1．
?2?说明 （1）为什么7年都考此类题？看来不是为了考二项式定理，而是考“特殊与一般的基本数学思想”、“整体处理”的基本数学思想．高考注重数学思想的考查． （2）由7年都考此类题，可感悟高考解题的一个基本思路：模式识别（化归为课堂上已经解决的问题、化归为往届高考题），差异分析．
第12招：层次解决．（参见文[8]）
（1）层次解决的基本含义．
人们在创造性解决问题的过程中，思维是按层次展开的，先粗后细，先宽后窄，先对问题作一个粗略的思考，然后逐步深入到实质与细节．或者说，先作大范围的搜索，然后再逐步收缩包围圈．数学解题也是一个创造性活动，也可以层层深入地解决，我们叫做三层次解决．
①一般性解决．即在策略水平上的解决，以明确解题的总体方向．这是对思考作定向调控．
在这一层次上，根据中学阶段课程体系的结构，我们认为自觉应用函数思想和方程思想是十分有益的．
②功能性解决．即在数学方法水平上的解决，以确定具有解决功能的解题手段，这是对解决作方法选择．
③特殊性解决．即在数学技能水平上的解决，以进一步缩小功能解决的途径，明确运算程序或推理步骤，这是对技巧作实际完成．
在进行三层次解决时，每一层次又可能有三层次解决．
（2）实例理解．
例12 已知a,b,c是实数，又函数f(x)?ax2?bx?c，g(x)?ax?b，当?1?x?1时，f(x)?1，证明g(x)?2． （1996年高考数学第25题第（2）问）
讲解 第一层次：假若存在x1,x2?[?1,1]，使f(x1)?f(x2)降为一次式，并等于
g(x)，则命题便能得证
g(x)?f(x1)?f(x2)． ① 这提供了一个方向，需要我们从方法上去落实．
第二层次：为了找出两个未知数x1,x2，我们利用①所提供的等量关系来建立方程．即去找满足
22 (ax1?bx1?c)?(ax2?bx2?c)?ax?b ②
的x1,x2，这时x暂时看成已知数．这就提供了一个方法，是从方程的观点上来思考的． 第三层次：一般说来，方程未必都有解，有解也未必都能求出来，具体到②情况如何呢？我们对上式作变形，有
?x1?x2??a?x1?x2??b??ax?b，
?x1?x2?1,取 ? ③
?x1?x2?x,可得 x1?x?12,x2?x?12． ④
这说明思路是通的．这就从操作层面落实了当初的想法．
证明 对?1?x?1，有 0?又
.x?12?1，?1?x?12?0，
?x?1??x?1?g(x)?f???f??，
?2??2?得 g(x)?f??x?1??x?1??f????2．
?2??2? 第13招：数形结合．
（1）数形结合的基本含义． 在解题中，既用数的抽象性质来说明几何形象的事实，又用图形的直观性质来说明代数抽象的事实，在数与形的双向结合上寻找解题思路，叫做数形结合．这是一个极富数学特色的信息转换，在选择题、填空题中我们已经见过很多数形结合解题的实例．
（2）数形结合的主要途径．
①通过坐标系．可以是直角坐标系，也可以是极坐标系，有时还考虑复平面． ②转化．可以把数与形的转化关系列成对照表．如把正数a转化为距离，把正数a2（或
ab）转化为面积，把正数a3（或abc）转化为体积，把整式a2?b2转化为勾股定理，把
整式a2?b2?ab转化为余弦定理，把a?b?c?a?b转化为三角形的三边关系等．
③构造．比如构造一个几何图形，构造一个函数关系等等． （3）数形结合的原则．
数形结合要防止失误，避免人为复杂化，需遵守三个原则：
①等价性原则．是指代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则解题会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时的图形性质只是一种直观而显浅的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．
②双向性原则．就是既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析都是一种天真的误解． ③简单性原则．找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述，取决于哪种方法更加优美、更加简单、或更便于达到教学目的，而不是像一种流行的模式那样代数问题用几何方法，几何问题用代数方法．
例13 lim1??n????13?132???1?． ?（ ）n?3?（A）
53 （B）
32 （C）2 （D）不存在
（2010江西理科第5题、5分）
讲解 我们用数形结合的方式来处理，使没有学过极限的人也能接受． （1）对于没有学过极限的同学，我们先来解释一下
13n?0．
如图8，对3长的线段三等分，取一份；对取出的1长线段三等分，取一份；对取出的
13长线段三等分，取一份；……如此类推，被取出的线段越来越短，无限接近于0．
????? 图8