例9-1 如果0?m?b?a,那么（ ）．
(A)cosb?m?cosb?cosb?ma?maa?mbb?mb?m (B)cos?cos?cosaa?ma?ma?mb(D)cos?cos?cos
a?ma?ma(C)cosb?ma?mb?m?cosbab?m?cosb?m
（1989年高考数学广东题）
例9-2 设?an?是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和． （Ⅰ）证明
lgSn?lgSn?22?lgSn?1；
（Ⅱ）是否存在常数c?0，使得
lg(Sn?c)?lg(Sn?2?c)2?lg(Sn?1?c)．
（1995年高考数学理科第25题）
例9-3 已知数列?an?为等比数列，a2?6，a5?162， （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设Sn是数列?an?的前n项和，证明（2004年高考数学文科第18题）
讲解 例9-2（1）与例9-3（2）可以认为是真分数不等式的变形用，如果我们没有“化归为课本已经解决的问题”的思想准备，可能就想不到用真分数不等式，或在变形式
SnSn?2?Sn?1
2SnSn?2Sn?12?1．
与
SnSn?1?Sn?1Sn?2 ①
之间犹豫，而一旦想到用真分数不等式，则①已接近完成，因为?an?为递增的正项数列，有
Sn?1Sn?2?a1?qSna1?qSn?1?1．
?qSnqSn?1?SnSn?1．
得
SnSn?2S2n?1例9-4 对一切大于1的自然数，求证：(1?)(1?3115)?(1?12n?1)?2n?12．
（1985年高考数学上海题）
例9-5 已知数列?bn?是等差数列，b1?1,b1?b2???b10?145， （Ⅰ）求数列?bn?的通项bn；
?1?（Ⅱ）设数列?an?的通项an?loga?1?（其中a?0,且a?1），记?，
bn??Sn是数列?an?前n项和．试比较Sn与logabn?1的大小，并证明你的结论．
31（1998年高考数学题理科第25题）
例9-6 已知i,m,n是正整数，且1?i?m?n，
iii?mAn； （Ⅰ）证明niAm（Ⅱ）证明(1＋m) n＞(1＋n) m． （2001年高考数学理科第20题）
iiii讲解 （Ⅰ）要证nAm?mAn，只需
Amm?1m?i?1?m? ???m． ?????inAnn?1n?i?1??nii而由真分数不等式，有
mn?im?1n?1?m?2n?2???m?i?1n?i?1，（由1?i?m?n，有0?mn?1）
im?m?1??m?2???m?i?1?Am?m??i， 相乘 ???n?n?1??n?2???n?i?1?An?n?iiii即 nAm?mAn．
例9-7 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n?N，点(n,Sn)均在函数
xy?b?r（b?0且b?1,b,r均为常数)的图象上．
? （1）求r的值；
?? （11）当b?2时，记bn?2(log2an?1)(n?N)，证明：对任意的n?N，不等式
b?1b1?1b2?1·······n?b1b2bnn?1成立．
（2009年高考数学山东卷理科第20题）
解 （1）因为对任意的n?N?，点(n,Sn)均在函数y?bx?r（b?0且b?1,b,r均为常数)的图象上．所以得Sn?bn?r，当n?1时，
a1?S1?b?r，
当n?2时，
an?Sn?Sn?1?b?r?(bnn?1?r)?b?bnn?1?(b?1)bn?1，
又因为{an}为等比数列，所以公比为
a3a2?b（b?0且b?1)，从而a2?a1b，即
?b?1?b??b?r?b ，得r??1．
（11）当b?2时，
an?(b?1)bn?1?2n?1，
n?1bn?2(log2an?1)?2(log22?1)?2n，
则
bn?1bn?2n?12n，
所以
b?1357b1?1b2?12n?1 ·······n????b1b2bn2462n由真分数不等式有
23<345672n2n?1,?,?,?,?， 456782n?12n?22222从而
n2??2??4??6???????????????2??1?3??5??7??n
n2n?2?1?23??45??6?7???????????????????,2n1?2?2?34??56??7?8?n?22n?1?246即 ??????， ??2n?1?n?1?357得
3572n?1??????2462nn?1．
即
b?1b1?1b2?1·······n?b1b2bn1n?1成立．
这与例9-4 证明(1?)(1?315)?(1?12n?1)?2n?12没有本质的区别．
这几道题目课本都没有出现过，但例9-1可以认为是真分数不等式的直接用（加上余弦函数的单调性）；例9-2（Ⅰ）与例9-3（Ⅱ）可以认为是真分数不等式的变形用，对例9-4～例9-7可以认为是真分数不等式的整合用（多次连续或多个组合）．
第11招：差异分析．（参见文[6]） （1）差异分析的基本含义． ①目标差：我们把题目的条件与结论之间的差异称为目标差，解题的实质就在于设计一个使目标差不断减少的过程．
②差异分析法：通过寻找目标差，不断减少目标差而完成解题的思考方法，叫做差异分析法．
（2）差异分析法的使用步骤．
①寻找目标差：通过分析题目的条件与结论中所出现的元素，元素间所进行的运算，以及元素间所存在的数量特征（如系数、指数、函数名称、自变量等）、关系特征（如运算方式、大于或等于、平行或垂直等）、位置特征等去寻找异同点．
②作出消除反应：对于所找出的目标差，要运用基础理论与基本方法立即作出某种减少目标差的反应．
③积累消除效果：减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得对目标差的减少能积累起来，渐次逼近，直至消除，最终完成解题． （3）差异分析法的基本功能．
①差异分析法是“综合——分析法”的一种特殊形式，可同时具有综合法与分析法的双重优势．
②运用差异分析法解题可以同时回答“从何处下手”与“向何方前进”这两个基本问题：我们说，就从分析目标差入手，就向着减少目标差的方向前进．
经常看到一些同学，拿着题目一筹莫展，找不到解题的突破口，连下手的地方都没有，这在很大程度上是不会找目标差，或见到目标差却不能作出反应．还有的同学常在成功的思路上受阻，其原因是不善于把目标差的逼近积累起来．
对于一类恒等式或不等式证明题，这一策略常能凑效．特别地，三角题可以通过角、函数名称、运算方式等的差异分析来求解．
例10 已知数列{an}的首项a1?35，an?1?3an2an?12?． ，n?1，，（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的x?0，an≥211?x??2?2?； ?x?，n?1，，2?n(1?x)?3?1（Ⅲ）证明：a1?a2???an?nn?1．
（2008年高考数学陕西卷理科第22题）（参见文[7]） 讲解 由第（Ⅰ）问易得an?n3nn3?2，因此第（Ⅱ）问可以认为是一道数列不等式的
恒成立问题：已知数列an?3n3?2，证明：对任意的x?0，
an≥11?x??2?2?． ① ?x?，n?1，，2?n(1?x)?3?1对比①式左右两边可以看到，有3个明显的差异：
（1）右边有正数x，左边没有．（恒成立问题） （2）左边有an，右边没有明显表出．
n（3）右边有3或
11?23n，左边没有明显表出．但由an?,23n3nn3?2知
an?23n?1an?1,3?n2an1?an， ②
这就提供了沟通①式左右联系的线索： 思路1：把右边的
23n统一为an的不等式；
23n思路2：把左边的an统一为
的不等式；
思路3：把左右两边统一为3n的不等式； 事实证明这些思路全都是可行的，比如 证明 把
23n统一为an，有
23n?1an?1，得
右边=
11?x??2??x? 2?n(1?x)?3?11??1?????1??x? 2??1?x(1?x)??an??1??112 （关于的二次三项式） ??21?xan(1?x)1?x1??an????1an?1?x???an?≤an．（二次三项式求极值） ??22这个证明表现为一系列恒等变形，若将首尾两行独立出来就得到一个恒等式
?11?2???x??an??2?n?1?x(1?x)?3??1an?1?x???an?． ??2这个等式的外形影响我们对本质的直接揭示，将其改写为不等式左边减右边的形式，有 11?2????x??? an?2?n1?x(1?x)?3????1an??． ③
?1?x?an??