?n?2或n?3(事实上,当n?3时,有(n?1)!?(n?1)(n?2)?(n?1)?2?n).
当n?2时,a1?a2?a1?a2?2a2,?a1?2,?a1?1,而1?a2?1?a2,?n?2. 当n?3时,a1?a2?a3?a1?a2?a3?3a3,?a1?a2?3,?a1?1,a2?2. 由2a3?3?a3,解得a3?3. 综上可知,A?{1,2,3}.
〖说明〗本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.
【例6】已知集合P?{x|x?3x?2?0},S?{x|x?2ax?a?0},若S?P,求实数a的取值组成的集合A.
【解】P?{x|1?x?2},设f(x)?x?2ax?a.
①当??(?2a)?4a?0,即0?a?1时,S??,满足S?P; ②当??(?2a)?4a?0,即a?0或a?1时, 若a?0,则S?{0},不满足S?P,故舍去; 若a?1时,则S?{1},满足S?P.
③当??(?2a)?4a?0时,满足S?P等价于方程x?2ax?a?0的根介于1和2之间.
2222222??0??a?0或a?1(?2a)??1???2??1?a?22即??a??. ??f(1)?0??1?a?0?f(2)?0??4?3a?0?综合①②③得0?a?1,即所求集合A?{a|0?a?1}.
〖说明〗先讨论特殊情形(S=?),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对?分类讨论,确定
a的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论??0.
22【例7】(2005年江苏预赛)已知平面上两个点集 M?{(x,y)||x?y?1|?2(x?y),x,y?R},
N?{(x,y)||x?a|?|y?1|?1,x,y?R}. 若 M?N??, 则 a 的取值范围是
．
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【解】由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x?y?1?0 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (a,1) 为中
y心的正方形及其内部的点集(如图)．
考察 M?N?? 时, a 的取值范围:
令 y?1, 代入方程|x?y?1|?2321-22(x?y) ,
-322-1O-11234567x得 x?4x?2?0，解出得 x?2?6． 所以，
当 a?2?6?1?1?6 时, M?N??． ???? ③
令 y?2，代入方程 |x?y?1|?2(x2?y2), 得 x2?6x?1?0. 解出得
x?3?10．所以，当 a?3?10 时, M?N??． ???? ④
因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当 1?6?a?3?10，即 a?[1?6,3?10] 时,
M?N??．故填 [1?6,3?10].
【例8】已知集合A?{a1,a2,a3,a4},B?{a1,a2,a3,a4},其中a1?a2?a3?a4,
2222a1,a2,a3,a4?N.若A?B?{a1,a4},a1?a4?10.且A?B中的所有元素之和为124,求
集合A、B.
【解】?a1?a2?a3?a4,且A?B?{a1,a4},?a1?a1,又a1?N,所以a1?1. 又a1?a4?10,可得a4?9,并且a2?a4或a3?a4.
若a2?9,即a2?3,则有1?3?a3?9?a3?81?124,解得a3?5或a3??6(舍) 此时有A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.
若a3?9,即a3?3,此时应有a2?2,则A?B中的所有元素之和为100?124.不合题意. 综上可得, A?{1,3,5,9},B?{1,9,25,81}.
〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.
【例9】满足条件|g(x1)?g(x2)|?4|x1?x2|的函数g(x)形成了一个集合M,其中
2?1,求函数y?f(x)?x2?3x?2(x?R)与集合M的关系. x1,x2?R,并且x12,x2222222第6页
〖分析〗求函数f(x)?x?3x?2集合M的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M的属性.
【解】?|f(x1)?f(x2)|?|(x1?3x1?2)?(x2?3x2?2)|?|x1?x2|?|x1?x2?3| 取x1?222459,x2?时, |f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?4|x1?x2|. 662由此可见,f(x)?M.
〖说明〗本题中M是一个关于函数的集合.判断一个函数f(x)是否属于M,只要找至一个或几个特殊的xi使得f(xi)不符合M中的条件即可证明f(x)?M.
【例10】对集合{1,2,?,2008}及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如{1,2,4,6,9}的“交替和”是
9?6?4?2?1?6,集合{7,10}的“交替和”是10－7=3,集合{5}的“交替和”是5等等.
试求A的所有的“交替和”的总和.并针对于集合{1,2,?,n}求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合A的非空子集共有22008?1个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可
能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共
有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1; {1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设Ai是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令Ai与{4}?Ai相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32.
【解】集合{1,2,?,2008}的子集中,除了集合{2008},还有22008?2个非空子集.将其分为两
类:第一类是含2008的子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果
Ai是第二类的,则必有Ai?{2008}是第一类的集合;如果Bj是第一类中的集合,则Bj中除
2008外,还应用1,2,??,2007中的数做其元素,即Bj中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A的所有子集的“交替和”为
12008(2?2)?2008?2008?22007?2008. 2n同样可以分析{1,2,?,n},因为n个元素集合的子集总数为2个(含?,定义其“交替和”
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为0),其中包括最大元素n的子集有2n?1个,不包括n的子集的个数也是2n?1个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n),设不含n的子集“交替和”为S,则对应的含n子集的“交替和”为n?S,两者相加和为n.故所有子集的“交替和”为2n?1?n.
〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.
【例11】一支人数是5的倍数的且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人，求这支游行队伍的人数最少是多少？
〖分析〗已知游行队伍的总人数是5的倍数，那么可设总人数为5n.“按每横排4人编队，最后差3人”，从它的反面去考虑，可理解为多1人，同样按3人、2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题.5n被4、3、2除时都余地，即5n?1是12的倍数，再由总人数不少于1000人的条件，即可求得问题的解.
【解】设游行队伍的总人数为5n(n?N)，则由题意知5n分别被4、3、2除时均余1，即
?于是可令5n?1?12m(m?N)，由此可得：n?5n?1是4、3、2的公倍数，
?12m?1 ①5要使游行队伍人数最少，则式①中的m应为最少正整数且12m?1为5的倍数，应为2.于是可令m?5q?2(p?N)，由此可得：n?[12?(5p?2)?1]?12p?5，5n?60p?25 ② 所以60p?25?1000，p?16?151. 4取p?17代入②式，得5n?60?17?25?1045
故游行队伍的人数最少是1045人. 〖说明〗本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.
【例12】设n?N且n≥15，A,B都是{1，2，3，?，n}真子集，A?B??，且A?B={1，2，3，?，n}.证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数.
【证明】由题设，{1，2，3，…，n}的任何元素必属于且只属于它的真子集A,B之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n}的真子集A,B，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.
不妨设1∈A，则3?A，否则1+3=2，与假设矛盾，所以3∈B.同样6?B，所以6∈A，这时10?A，，即10∈B.因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A时，因1∈A，1+15=4，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=5，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.
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222【赛向点拨】
1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.
2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.
3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.
4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.
【针对练习】
(A 组)
1.(2006年江苏预赛) 设在xOy平面上，0?y?x，0?x?1所围成图形的面积为
221，3则集合M?{(x,y)y?x?1},N?{(x,y)y?x?1}的交集M?N所表示的图形面积为( )
124 B. C.1 D.
333b2. (2006年陕西预赛)a,b为实数,集合M={,1},P?{a,0},f:x?x表示把集合M中的元
a素x映射到集合P中仍为x,则a?b的值等于( ) A.?1 B.0 C.1 D.?1
A.
3. (2004年全国联赛)已知M=(x,y)|x?2y?3，N=?(x,y)|y?mx?b?，若对于所有
22??的m?R，均有M?N??,则b的取值范围是
A．[?666623232323,,,,] B.（?）C.（?） D.[?] 222233334. (2005年全国联赛) 记集合T?{0,1,2,3,4,5,6},M?{a1a2a3a4?2?3?4|ai?T,i?1,2,3,4}, 7777将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）
55635562?2?3?4 B．?2?3?4 7777777711041103 C．?2?3?4 D．?2?3?4
77777777A．
5. 集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，当且仅当A≠B时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有( )
A.27 B.28. C.26 D.25
6.设A={n|100≤n≤600,n∈N}，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________.
1?x227. 已知A?{xx?4x?3?0,x?R},B?{x2?a≤0,且x?2(a?7)x?5≤0,x?R}.若
A?B,则实数a的取值范围是 .
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