第二章 函数
§2.1 函数及其性质
一、函数的基本性质：
1. 函数图像的对称性
（1） 奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x?D，都有f(?x)??f(x)成立；
偶函数的图像关于y轴对称，对于任意x?D，都有f(?x)?f(x)成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y?x对称。 若某一函数与其反函数表
示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y?x对称。
（3） 若函数满足f(x)?f(2a?x)，则f(x)的图像就关于直线x?a对称；若函数满足
f(x)??f(2a?x)，则f(x)的图像就关于点(a,0)对称。
（4） 互对称知识：函数y?f(x?a)与y?f(a?x)的图像关于直线x?a对称。 2．函数的单调性
函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导
数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）
特别提示：函数y?x?3．函数的周期性
对于函数y?f(x)，若存在一个非零常数T，使得当x为定义域中的每一个值时，都有
a(a?0)的图像和单调区间。 xf(x?T)?f(x)成立，则称y?f(x)是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中
存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T是y?f(x)的周期，那么nT(n?Z)也是它的周期。
T的周期函数。 a（3） 若函数y?f(x)的图像关于直线x?a和x?b对称，则y?f(x)是周期为2(a?b)的函数。
（2） 若y?f(x)是周期为T的函数，则y?f(ax?b)(a?0)是周期为
（4） 若函数y?f(x)满足f(x?a)??f(x)(a?0)，则y?f(x)是周期为2a的函数。 4.函数的最值：
常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法 5．Gauss(高斯)函数
对于任意实数x，我们记不超过x的最大整数为[x]，通常称函数y?[x]为取整函数。又称高斯函数。又记{x}?x?[x]，则函数y?{x}称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。
高斯函数的常用性质：
（1） 对任意x?R,均有x?1?[x]?x?[x]?1 （2） 对任意x?R，函数y?{x}的值域为[0,1) （3） 高斯函数是一个不减函数，即对于任意x1,x2?R,若x1?x2,则[x1]?[x2]
（4） 若n?Z,x?R,则有[x?n]?n?[x],{n?x}?{x}，后一个式子表明y?{x}是周期为1的函数。 （5） 若x,y?R,则[x]?[y]?[x?y]?[x]?[y]?1 （6） 若n?N*,x?R,则[nx]?n[x]
二、应用举例：
例1．已知f(x)是一次函数，且f10(x)?1024x?1023．求f(x)的解析式．
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例2．已知f(x)?
n?1000?n?3例3．函数f(n)??，求f(84)
f(f(n?5)),n?1000?bx?11k(a,b是常数，ab?2),且f(x)f()?k.(1)求k;(2)若f(f(1))?,求a,b. 2x?ax2
函数迭代中的”穿脱”技巧 设函数y=f(x),并记fn(x)=f(f(f?(fx)?),其中n是正整数, fn(x)叫做函数f(x)的n次迭代,函数迭代是一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或fn(x)的表达式”穿上”或”脱去”n-1个函数符号得出fn(x)(或f(x))的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索. 1程序化穿脱 “穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,
例 已知f(x)=
x1?x2 ,求fn(x).
2实验法穿脱 许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源泉,是发现规律的金钥匙.
例函数定义在整数集上,且满足 f(n)= n-3 (n≥1000)
f[f(n+5)](n＜1000求f(84)
例21 对任意的正整数k,令f1(k)定义为k的各位数字和的平方.对于n≥2令fn(k)=f1(fn-1(k)),求f1988(11). 3周期性穿脱 在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程. 例定义域为正整数的函数,满足: f(n)= n-3 (n≥1000)
f[f(n+7)](n＜1000. 试求f(90) 练习
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1.设n是自然数,f(n)为n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值. 2.已知f(x)=
例4．求函数y?x?2x?1.设f35(x)=f5(x),求f28(x). x?1x2?3x?2的值域。
y?x?x2?3x?2?x2?3x?2?y?x?0
y2?23两边平方得(2y?3)x?y?2，从而y?且x?。
2y?322y2?2y2?3y?23由y?x?y??0??0?1?y?或y≥2。
2y?32y?32y2?2任取y≥2，由x?，易知x≥2，于是x2?3x?2?0。
2y?3y2?23任取1?y?，同样由x?，易知x≤1。
2y?32于是x2?3x?2?0。
因此，所求函数的值域为[1,)?[2,??)。
3??(x?1)?2004(x?1)??1例5（1）设x,y是实数，且满足?，求x+y的值 3??(y?1)?2004(y?1)?132（2） 若方程x?2asin(cosx)?a?0有唯一解，求a
例6：解方程、不等式：（1）x?log2(2x?31)?5 （2）(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0 （3）(x2?20x?38)3?4x2?152?x3?84x
Ex1.求y?(3x?1)(9x?6x?5?1)?(2x?3)(4x?12x?13?1)的图象与x轴交点坐
标。
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222222 解：y?(3x?1)((3x?1)?4?1)?(2x?3)((2x?3)?4?1) 令f(t)?t(t2?4?1)，可知f(t)是奇函数，且严格单调，所以 y?f(3x?1)?f(2x?3)，当y?0时，f(3x?1)??f(2x?3)?f(3?2x)， 所以3x?1?3?2x，故x?44，即图象和x轴交点坐标为(,0) 55若函数f(x)为单调的奇函数，且f(x1)?f(x2)?0，则x1?x2?0。若遇两个式子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。 Ex2. 设函数f(x)?x?log2(x?3x2?1)，则对任意实数a,b,a?b?0是
f(a)?f(b)?0的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题 的办法就是要“穿脱”函数符号“f”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法. 1.单调性穿脱法
对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,由此使问题获得解答.
已知函数f(x)在区间(-?,+?)上是增函数,a和b是实数.试证: ⑴证明命题:如果a+b≥0那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). ⑵判断⑴中的逆命题是否正确,并证明你的结论. 2 反函数穿脱法
灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f-1(x),并能熟练地运用 f-1 (f(x))=x,f(f-1(x))=x进行穿脱函数符号“f”，这是极为常用而又重要的方法. 引理 若f(x),g(x)互为反函数,且f(a+b)=f(a) f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)
1例 已知函数f(x)满足:①f(2)=1;②函数的值域为[-1,1];③严格递减; ④f(xy)= f(x)+f(y).
111试求:⑴求证: 4不在f(x)的定义域内⑵求不等式f-1(x)f-1()≤的解集
1?x23定义探求法
在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.
例 设a>0, f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数x,有
1f(x+a)=2+
f(x)?[f(x)]2
⑴证明: f(x)是周期函数;
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⑵对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)
例7．设a?1，a,?均为实数，试求当?变化时，函数y?
例8．设f(x)是定义在Z上的一个实值函数，f(x)满足?求证：f(x)是周期为4的周期函数。
例9．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－ 三、练习
1．集合M由满足如下条件的函数f?x?组成：当x1, x2???1, 1 ?时，有
?f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)?f(1)?0①②(a?sin?)(4?sin?)的最小值。
1?sin?，
1?f(x),求证f(x)是周期函数
1?f(x)f?x1??f?x2??4x1?x2，对于两个函数f1?x??x2?2x?5,f2?x??中成立的是（ ）
x，以下关系
A. f1?M,f2?M; B. f1?M,f2?M; C. f1?M,f2?M; D. f1?M,f2?M;
2．设f(x)＝1?x＝（ ） ，记f1?x??f?x?，若fn?1(x)?f(fn(x))， 则f2006(x)1?x11?xx?1 A、x B、- C、 D、
x1?xx?1?y3．若(log23)x?(log53)x≥(log23)
?(log53)
?y，则( )
(A)x?y≥0 (B)x+y≥0 (C)x?y≤0 (D)x+y≤0
4．定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.
303305 C.152 D. 22第19页