∴
f(t)?t＝a(t－x2)＝g(t)＜－1∴ f(t)－t＞x1－t∴ f(t)＞x1 t?x12例8．已知函数f(x)?x?bx?c，方程f(x)?x的两个根为x1,x2，且x1?x2?2
（1） 求证：x1,x2也是方程f(f(x))?x的根；
（2） 设f(f(x))?x的另两个根是x3,x4，且x3?x4，试判断x1,x2,x3,x4的大小。 解：（1）易证。
（2）由方程f(x)?x?0的两个根为x1,x2，设f(x)?x?(x?x1)(x?x2) 所以f(f(x))?x?(f(x)?x1)(f(x)?x2)?f(x)?x
[(x?x1)(x?x2)?(x?x1)][(x?x1)(x?x2)?(x?x2)]?(x?x1)(x?x2)?(x?x1)(x?x2)[(x?x1?1)(x?x2?1)?1]记g(x)?(x?x1?1)(x?x2?1)?1，则x3,x4是g(x)?0的两根，而
g(x1)?x1?x2?2?0,g(x2)?x2?x1?2?0，且x3?x4，
故x4?x2?x3?x1。
例9．设f(x)?ax2?bx?1(a?0),方程f(x)?x?0的两个根x1,x2，若x1?2?x2?4，设y?f(x)的对称轴为x?x0，求证x0??1
?g(2)?0可以推出结论。
g(4)?0?构造g(x)?f(x)?x?ax2?(b?1)x?1,?．设f(x)?ax2?bx?c(a?0),当x?[0,1]时，|f(x)|?1，求证：适合b?A的最小实数A的值为8。
1111?f(1)?a?b?c?f(1)?a?b?c4444?11b3f(0)?c??f()?f(1)??f(0) ?2444?11b11b?f()?a??cf()?a??c?24224211?b?4f()?f(1)?3f(0)?|b|?4|f()|?|f(1)|?3|f(0)|?8，所以A的最小值为8
222例10．设f(x)?ax?bx?c(a?0),方程f(x)?x?0的两个根x1,x2满足0?x1?x2?1， a（1）当x?(0,x1)时，证明x?f(x)?x1；（2）设f(x)的图像关于直线明x0?x?x0对称，证
x1 2该题是一九九七年全国普通高考理工类数学第24题，它综合考查二次函数、二次方程和不第25页
等式的基础知识，以及灵活运用数学知识和方法分析、解决问题的能力，当年没有几个考生能完整解答此题。可以从代数与几何两个角度展开思考：
从代数角度看，f(x)是二次函数，从而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0 (a＞0)是二次方程，由于x1,x2是它的两个根，且方程中x2的系数是a，因此有表达式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) ,进而，利用二次函数的性质和题设条件，可得第（1）问的证明。
从几何角度看，抛物线y=f(x)-x开口向上，因此在区间［x1,x2］的外部，f(x)-x＞0，（1）的左端得证。其次，抛物线y=f(x)的开口也向上，又x1=f(x1)，于是为了证得（1）的右端，相当于要求证明函数f(x)在区间［0,x1］的最大值是f(x1)，这相当于证明f(0)≤f(x1)，也即C≤x1，利用韦达定理和题设，立即可得。
至于（Ⅱ）的证明，应用配方法可得x0=?2ba，进而利用韦达定理与题设，即得证明。 证明：①欲证：x＜f(x)＜x1
只须证：0＜f(x)-x＜x1-x ①
∵方程f(x)-x=0的两根为x1,x2, ∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)
①式即: 0＜a(x-x1)(x-x2)＜x1-x ② ∵a＞0，x∈(0,x1)，x1-x＞0，∴ a(x1-x)＞0
1 ②式两边同除以a(x1-x)＞0，得：0＜x2-x＜1a，即：x＜x2＜a+x 11 这由已知条件：0＜x＜x1＜x2＜1a，即得：x＜x2＜a＜a+x，
故命题得证。 （2）欲证x0＜x12，因为x0=?2ba，故只须证：x0-x1?x22x12=?2ba-
x12＜0 ①
x12?1 由韦达定理，x1+x2=?ba，1b=?b2?a，代入①式，有?2a-
=
x22-21a＜0
即：x2＜1a
由已知：0＜x1＜x2＜1a，命题得证。
三、练习
1．二次函数y?ax?bx?c(a?0),若f(x1)?f(x2)(x1?x2),则f(x1?x2)等于:
24ac?b2bbA.? B. ? C.c D.
4a2aa
2．已知二次函数f?x??ax?bx?1?a?0,b?R?，设方程f?x??x 有两个实数根
2x1,x2．
①如果x1?2?x2?4，设函数f?x?的对称轴为x?x0，求证：x0??1； ②如果0?x1?2，且f?x??x的两实根的差为2，求实数b的取值范围．
第26页
（1）f(x)?x即为：g(x)?ax2?(b?1)x?1
?b?1??2?4它的两根满足x1?2?x2?4的充要条件是：??g(2)?4a?2b?1?0
?g(4)?16a?4b?3?0??
b2a?bg(4)?g(2)又x0??，所以：x0?1? ?2a2a8a因为：a?0,g(2)?0,g(4)?0，所以：x0?1?0，即：x0??1
?g(0)g(2)?0?4a?2b?1?0（1） 由题意得：? 即：2(a?0) ??(b?1)?4a22(b?1)?4a?4a??2?a??3?2b?0消去a得：2(b?1)2?1?3?2b，此不等式等价于：? 22?4?b?1??1??3?2b???1 43．已知函数f(x)=6x－6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f[g1(x)], g3(x)=f[g2(x)], ?, gn(x)=f[gn-1(x)], ?。
①求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N*, gn(x0)=x0都成立； ②若实数x0，满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。
③设区间A=(-∞,0)，对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a<0, g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0，且n≥2时，gn(x)<0。试问是否存在区间B (A∩B≠?)，对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)<0？ 解:①数学归纳法：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；当n=k时，在gk(x0)=x0 (k∈N*)成立，则gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0，即当n=k+1时，命题成立。 ∴对一切n∈N*，若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0。 ②由①知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0，
解得：b?∵f(x0)=x0?6x0－6x02=x0?x0=0或x0=
5。 6③∵f(x)<0?6x－2x2<0?x<0或x>1
∴gn(x)<0?f[gn-1(x)]<0? gn-1(x)<0或gn-1(x)>1
要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)<0，必须有g1(x)<0或g1(x)>1 ∵g1(x)<0?6x－2x2<0?x<0或x>1
g1(x)>1?6x－2x2>1?3?33?3 3?33?3,)和(1,+∞)内的任意x，只要n≥2,n∈N*，都有gn(x)<0。 66第27页 §2.3 函数迭代 知识提要 先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x个．第i只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为xi个，则 4xi?(xi?1?1)，i?1,2,3,4,5 544且x0?x．设f(x)?(x?1)?(x?4)?4．于是 554x1?f(x)?(x?4)?4 54x2?f(f(x))?()2(x?4)?4 54x3?f(f(f(x)))?()3(x?4)?4 54x4?f(f(f(f(x))))?()4(x?4)?4 54x5?f(f(f(f(f(x)))))?()5(x?4)?4 5由于剩下的桃子数都是整数，所以，5|x?4．因此，最小的x为：x?5?4?3121． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设f:D?D是一个函数，对?x?D，记f(0)55(x)?x，f(1)(x)?f(x)，f(2)(x)?f(f(x))，?， (n)(n)f(n?1)(x)?f(f(n)(x))，n?N?，则称函数f(x)为f(x)的n次迭代，并称n为f(x)(?n)的迭代指数．反函数记为f (x)． 第28页 一些简单函数的n次迭代如下： （1）若f(x)?x?c，则f（3）若f(x)?x，则fa(n)(n)(x)?x?nc； an（2）若f(x)?ax，则f（4）若f(x)?(n)(x)?anx； (x)?x； (n)nxx，则f(n)(x)?； 1?ax1?nax（5）若f(x)?ax?b（a?1），则f1?an(x)?ax?b； 1?af(n)(x)的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用 数学归纳法． 例题讲解 1．求迭代后的函数值 例1：已知f(x)是一次函数，且f 例2：自然数k的各位数字和的平方记为f1(k)，且fn(k)?f1[fn?1(k)]，则fn(11)（n?N）的值域为（ ） （A）N ??(10)(x)?1024x?1023，求f(x)的解析式． （B）5 （C）{4,16,49,169,256} （D） {2,4,7,13,16} （第14届希望杯） 例3：设f1(x)?f(2)?12?，而fn?1(x)?f1[fn(x)]，n?N．记an?n，则 fn(2)?2x?1a99? ． （第14届希望杯） 2．不动点法 一般地，若f(x)?ax?b，则把它写成 第29页